Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 1 27648 986948 986932 2026-10-02T16:28:27Z Crochet.david 317 Révocation d’une modification de [[Special:Contributions/~2026-52983-92|~2026-52983-92]] ([[User talk:~2026-52983-92|discussion]]) vers la dernière version de [[User:Crochet.david.bot|Crochet.david.bot]] 969286 wikitext text/x-wiki == Lien mort == Pendant plusieurs patrouilles par un robot, le lien suivant a été inaccessible. Veuillez vérifier si le lien est effectivement mort et si oui corrigez ou retirez-le. * http://jeanber.club.fr/fiches/3/usatown.pdf ([http://web.archive.org/web/*/http://jeanber.club.fr/fiches/3/usatown.pdf archive]) ** In [[Géographie des États-Unis/Des métropoles puissantes]] on 2010-04-12 20:43:27, 404 Not Found ** In [[Géographie des États-Unis/Des métropoles puissantes]] on 2010-05-04 17:42:07, 404 Not Found La page a été sauvegardée dans l’''Internet Archive''. Il serait peut-être utile de faire pointer le lien vers une des versions archivées : [http://web.archive.org/web/*/http://jeanber.club.fr/fiches/3/usatown.pdf]. --[[Utilisateur:Crochet.david.bot|Crochet.david.bot]] 4 mai 2010 à 17:42 (UTC) == Lien mort 2 == Pendant plusieurs patrouilles par un robot, le lien suivant a été inaccessible. Veuillez vérifier si le lien est effectivement mort et si oui corrigez ou retirez-le. * http://www.ac-reims.fr/datice/lettres_histoire/sujets_exam/Sujets_bacpro/Bacprogeo/Bacpro2005_geosept_metropolesus.doc ** In [[Géographie des États-Unis/Des métropoles puissantes]] on 2010-04-12 20:43:28, 404 Not Found ** In [[Géographie des États-Unis/Des métropoles puissantes]] on 2010-05-04 17:42:10, 404 Not Found --[[Utilisateur:Crochet.david.bot|Crochet.david.bot]] 4 mai 2010 à 17:42 (UTC) 5f6llyz30pkzc4bow06xawn3ekcoqok 104 64122 986952 975279 2026-10-02T16:54:55Z Ambre Troizat 8860 /* 1621 */ 986952 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Annexe | idfaculté = histoire | numéro = 1 | niveau = 9 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Chronologie 1763-1848/]] }} __TOC__ {{Clr}} == 1492 - 1499 == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>1492 - Le ravissement des mondes</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:La Rendición de Granada - Pradilla.jpg|Francisco Pradilla y Ortiz (1848–1921).- Reddition de Grenade, 2 janvier 1492, 1882 File:Monumento a Colón (Madrid) 02b.jpg|17 avril 1492 - Les monarques d’Espagne, acceptent de financer l’expédition de Christophe Colomb File:Columbus Taking Possession.jpg|Christophe Colomb arrive dans l'espace des Caraïbes<ref>Représentation de l’arrivée de Christophe Colomb dans l'espace des Caraïbes, L. Prang & Co., Boston, 1893</ref> File:Randolph Rogers - USCapitolDoors 1855–1861, Columbus's First Encounter with the Indians, 1492.png|100px|vignette|gauche|1492 - Rencontre de Christophe Colomb avec les Améridiens </gallery> </div> </Center> === 1492 === [[w:1492|1492]] <Center> 1492 - l’"[[w:oc:Annada Cruciala|Año crucial]]", ''[[w:Année cruciale|Année cruciale]]'', dans l’historiographie espagnole </Center> ==== 1492 - reddition de Grenade ==== * 2 janvier 1492 - [[wikt:reddition|Reddition]] de [[w:Prise de Grenade|Grenade]] & fin des [[w:Guerres de Grenade|Guerres de Grenade]]. [[w:Isabelle Ire de Castille|Isabelle I{{re}} de Castille]] (°[[w:1451|1451]] - †[[w:1504|1504]]), reine de [[w:Royaume de Castille|Castille]] et de [[w:Royaume de León|León]] ([[w:1474|1474]]-[[w:1504|1504]]), dite ''Isabelle la Catholique'', épouse de [[w:Ferdinand II d'Aragon|Ferdinand II d'Aragon, 1452-1516]], [[w:Ferdinand le Catholique|dit ''le Catholique'']], roi d’[[w:Royaume d'Aragon|Aragon]], deviennent souverains dans la péninsule ibérique, à l'exclusion du Portugal. "Rois catholiques", ils vont mener une [[w:Ferdinand le Catholique#Une politique expansionniste|politique expansionniste]] en Europe, en Méditerranée, en Afrique et, bientôt, au Nouveau Monde. * 17 avril 1492 - Les monarques d’Espagne, acceptent de financer l’expédition de Christophe Colomb * 30 avril 1492 : Lettres patentes accordées à Christophe Colomb<ref>[http://gallicalabs.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5667335h/f247.image Alphonse Gourd.-Les chartes coloniales et les constitutions des États-Unis de l'Amérique du Nord, p. 194].<br /> [http://mjp.univ-perp.fr/traites/1492colomb.htm Université de Perpignan.- Le Nouveau Monde]</ref>. === 1494 === [[File:Giovanni Bilivert.- Isabelle d'Aragon implorant Charles VIII, Naples, 1494.png|vignette|100px|left|Isabelle d'Aragon implorant [[w:Charles VIII (roi de France)|Charles VIII roi de France]], Naples, 1494]] ;'''[[w:1494|1494]]''' ==== 7 juin 1494 - Le traité de Tordesillas ==== [[Fichier:Treaty of Tordesillas.jpg|vignette|100px|left|Le traité de Tordesillas, Bibliothèque National de Lisbonne, 7 juin 1494]] * 7 juin 1494 : L'Espagne et le Portugal établissent le [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]]. * 2 juillet 1494 : La version espagnole du [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]] est ratifiée à Arévalo par le roi Ferdinand II d'Aragon et la reine Isabelle I{{re}} de Castille. * 5 septembre 1494 : La version portugaise du [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]] est ratifiée à Setúbal par le roi Jean II de Portugal. ==== 2 septembre 1494 - Début des guerres d'Itale ==== * 2 septembre 1494 : Charles VIII, roi de France de 1483 à 1498, franchit franchit le [[w:Col de Montgenèvre|col de Montgenèvre]] et entre en Italie. Ainsi commence la première des [[w:Guerres d'Italie|Guerres d'Italie]]. === 1497 === [[w:1497|1497]] * 8 juillet 1497 : Sur commande de [[w:Manuel Ier (roi de Portugal)|Manuel Ier, roi de Portugal]], Vasco de Gama quitte le Tage pour contourner les côtes de l'Afrique et atteindre l'Asie orientale. == Chronologie {{S|XVI}} == <Center> <br /> <br /> <span style="font-size:20px;">'''<strong>{{S|XVI}} - Brevísima relación de la destrucción de las Indias</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:Gama armada in India, 1502.gif|1502, Vasco de Gama arrive aux Indes File:Atahualpa Inca XIV.png|1502, Naissance de Atahualpa Inca XIV du Pérou, (c. 1502 – August 26, 1533 Quito, Ecuador) File:Wpdms verrazano voyage map 2.jpg|Voyage de Giovanni da Verrazzano aux Amériques en 1523-1528 File:Atawallpap umanta kuchunku.gif|Assassinat de Atahualpa, Inca XIV & dernier du Pérou, (c. 1502 – August 26, 1533 Quito, Ecuador)] File:Cartier First Voyage Map 1 fr.png|1534, 1{{er}} Voyage de Jacques Cartier.]] </gallery> </div> </Center> === 1502 === [[w:1502|1502]] * c. 1502 - Naissance de Atahualpa, futur Inca XIV du [[w:Pérou#Conquête et vice-royauté|Pérou]]. Il sera assassiné en 1533 à [[w:Quito|Quito]], actuelle [[capitale]] de l'[[w:Équateur (pays)|Équateur]] et de la [[w:Pichincha (province)|province de Pichincha]]. === 1507 === [[w:1507|1507]] <Center> [[Fichier:Waldseemuller map 2.jpg|200px|vignette|centré|Planisphère de Martin Waldseemüller, Universalis Cosmographia, 1507]] </Center> [[Fichier:Cosmographiae Introductio-Saint-Dié.jpg|100px|vignette|gauche|Petit traité de géographie accompagnant la carte du monde Universalis Cosmographia. Conservé à la Médiathèque Victor-Hugo, salle du Trésor, [[w:Saint-Dié-des-Vosges|Saint-Dié-des-Vosges]].]] * 1507 - Le 25 avril 1507 [[w:Martin Waldseemüller|Martin Waldseemüller]] publie Cosmographiæ Introductio, ou, en français : "''Introduction à la cosmographie avec quelques éléments de géométrie et d'astronomie nécessaires à l'intelligence de cette science, ainsi que les quatre voyages d'Amerigo Vespucci et la reproduction du monde entier tant en projection sphérique qu'en surface plane, y compris les régions que Ptolémée ignorait et qui n'ont été découvertes que récemment». L'ouvrage comprend the [[c:Fichier:Waldseemuller map 2.jpg|Waldseemüller map from 1507]], the first map to include the name "America" and the first to depict the Americas as separate from Asia. There is only one surviving copy of the map, which was purchased by the [[w:Library of Congress|Library of Congress]]<ref>[https://www.loc.gov/resource/g3200.ct000725C/ Library of Congress]</ref> in 2001 for $10 million.<br /> Ci-contre : Un des exemplaires de la [[c:Fichier:Cosmographiae Introductio-Saint-Dié.jpg|troisième édition de Cosmographiae Introductio imprimée à Saint-Dié en 1507]]. Petit traité de géographie qui accompagnait la carte du monde Universalis Cosmographia. Conservé dans la salle du Trésor de la Médiathèque Victor-Hugo de Saint-Dié-des-Vosges. === 1523 === [[w:1523|1523]] * 1523 - [[w:François Ier (roi de France)|François Ier de France]] commence à encourager les explorations au nord des [[w:Amérique|Amériques]]. Il prend à son servie [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]], né aux environs de 1485 et mort en 1528. * 1523 - Giovanni da Verrazzano appareille de Dieppe en juin 1523 à bord de La Dauphine mise à disposition par le Royaume de France. === 1524 === [[w:1524|1524]] * 1524 - Ayant atteint Madère, [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]] entreprends la traversée de l'Atlantique le 17 janvier 1524. Verrazano atteint l’Amérique du Nord, cartographie [[w:Terre-Neuve#XVe siècle|Terre-Neuve]], puis fonde la Nouvelle-Angoulême, future Nouvelle-Amsterdam puis New York, en hommage à la famille du roi de France. Son objectif est de trouver un passage vers le nord-ouest menant directement aux Indes<ref>Voir le deuxième voyage de Giovanni da Verrazzano en 1528.</ref>. === 1525 === [[Fichier:Charles V visits François Ier after the Battle of Pavia.jpg|100px|vignette|gauche|1525 - [[w:Charles Quint|Charles Quint]] visite François I{{er}} après la [[w:Bataille de Pavie (1525)|Battaille de Pavie de 1525]].]] [[w:1525|1525]] * 1525 - [[w:François Ier de France|François I{{er}}]] est capturé à la bataille de Pavie au cours de la [[w:Septième guerre d'Italie|septième guerre d'Italie]].[[w:Charles Quint|Charles Quint]] d'Espagne vient lui rendre visite dans la prison à Madrid. Par [[w:Traité de Madrid (1526)|traité de Madrid]] du 14 janvier 1526, il renoncera à ses prétentions en [[w:Italie|Italie]], cèdera la [[w:Bourgogne|Bourgogne]] à l'[[w:Espagne|Espagne]] et abdiquera sa souveraineté sur les [[w:Flandre française|Flandres]] et l'[[w:Artois|Artois]]. Il obtiendra sa libération et toutes les conssessions ne seront pas appliquées contre la détention de ses deux fils.<br />{{Bibliographie|Q28472796}}, 1645, contenant le ''[https://books.google.fr/books?id=stpCAQAAMAAJ&hl=fr&pg=PA3#v=onepage&q&f=false Traité de paix fait en la ville de Madrid, l'an M. D. XXVI : entre Charles V, Empereur, et François I. Roy de France].<br />{{Bibliographie|Q19230568}}, 1858. === 1528 === [[w:1528|1528]] * Deuxième voyage de [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]]. Sa mort surviendra la même année, probablement en [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]]<ref>Michel Mollat, ''Giovanni et Girolamo Varrazano, navigateurs de François I{{er}}'' Paris, 1982, {{p.}}122.</ref> === 1530 === [[Fichier:Siege of Florence.JPG|100px|vignette|gauche|Giorgio Vasari (1511–1574).- Siege of Florence en 1530]] [[w:1530|1530]] === 1533 === [[w:1533|1533]] * 1533 - Le 26 août 1533, à [[w:Quito|Quito]], actuel [[w:Équateur|Équateur]], le pouvoir colonial espagnol assassine [[w:Atahualpa|Atahualpa]], dès lors, dernier souverain de l'[[w:Empire inca|empire pré-colombien Inca]]. === 1534 === [[File:Postcard of butter sculpture tableau of the meeting of Jacques Cartier and Donnacona, Franco-British Exhibition,London, 1908.jpg|100px|vignette|gauche|1534, Cartier rencontre Danacona]] [[w:1534|1534]] * 1534 - [[w:François Ier (roi de France)|François Ier de France]] confie à [[w:Jacques Cartier|Jacques Cartier]] la mission de découvrir « certaines îles et pays où l’on dit qu’il se doit trouver grande quantité d’or et autres riches choses ». * 1534 - Premier voyage de [[w:Jacques Cartier|Jacques Cartier]]. Après vingt jours de traversée du 20 avril au 10 mai, l'expédition parti de Saint-Malo traverse l’Atlantique nord, atteint [[w:Terre-Neuve|Terre-Neuve]] et l’embouchure du Saint-Laurent, remonte le fleuve et fonde le poste de Sainte-Croix (future Québec), atteint le village de Hochelaga, renommé Mont-Royal (future Montréal). La Nouvelle-France est fondée. === 1535 === [[File:Cartier Second Voyage Map 1 fr.png|100px|vignette|gauche|1535-36, 2{{e}} voyage de Jacques Cartier.]] [[w:1535|1535]] * 1535 - Deuxième voyage de Jacques Cartier (1535-1536) === 1536 === [[w:15356|1536]] * 1536 - [[w:Donnacona (chef indien)|Donnacona]] était le chef du village iroquoien Stadaconé jusqu'en mai 1536, lorsqu’il fut capturé & emmené en France par Jacques Cartier. === 1539 === [[Fichier:François 1er - Ordonnance de Villers-Cotterêts, Acte royal, 10 -25 août 1539.djvu|100px|vignette|gauche|François 1er - Ordonnance de Villers-Cotterêts, Acte royal, 10 -25 août 1539, {{BNF|338105253}}.]] [[w:1539|1539]] ==== Ordonnance du roy François premier sur le faict de la justice & abréviation des procez, faicte en l'an 1539 ==== * 1539 - François Ier, roi de France, 1494-1547.- Ordonnance du roy François premier sur le faict de la justice & abréviation des procez, faicte en l'an 1539, Acte royal, août 1539, [[w:Villers-Cotterets|Villers-Cotterets]], {{BNF|33849891h}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9747089j lire en ligne] * 1786 - [[d:|André-Jean Boucher d’Argis]]<ref>Cf. [[c:File:Information des Journées du 5 et 6 octobre 1789. La voilà donc enfin ce secret plain d'horreur (BM 1868,0822.7125).jpg|Information des Journées du 5 et 6 octobre 1789. La voilà donc enfin ce secret plain d'horreur !]]. Satire on the march to Versailles: a man seated at a table blowing bubbles, each of which is labelled 'Déposition' with a Roman number, while two other applaud. October 1789. De Vinck identifies the persons as Boucher d'Argis, who demanded the prosecution of those involved on the march to Versailles, and abbé Grégoire and Pétion. The investigations at the police headquarters at the Châtelet led nowhere.</ref> [[w: Livre:Boucher d’Argis - Ordonnance du mois d’aoust 1539, 1786.djvu|Ordonnance du mois d’aoust 1539, 1786]] * 2010 - {{bibliographie|Q117303780}} <!-- L’ordonnance de 1539 et l’unification du royaume de France --> * 1539 - Mort de [[w:Donnacona (chef indien)|Donnacona]], chef du village iroquoien Stadaconé jusqu'en mai 1536, capturé & emmené en France par Jacques Cartier. === 1558 === [[w:1558|1558]] == Chronologie {{S|XVII}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>{{S|XVII}}</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:The First Thanksgiving Jean Louis Gerome Ferris.png|[[w:Jean Leon Gerome Ferris|J.- L. G. Ferris]].- 1621, Le premier "Thanksgiving", Library of Congress, c.1912-1915 File:Charles Bell - Jan van Riebeeck se aankoms aan die Kaap.jpg|Jan van Riebeeck arrive à Table Bay en avril 1652]] File:The sisters Mademoiselle de Blois and Mademoiselle de Nantes by Philippe Vignon.jpg|Philippe Vignon (1638-1701).- Les demoiselles de Blois & de Nantes avec leur serviteur Africain File:Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française page 1.jpg|Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française File:The 1688 Germantown Quaker petition against slavery.jpg|1688 - [[w:Protestation de Germantown|Protestation de Germantown contre l'esclavage]], à la fondation de la Pennsylvanie File:Portrait de Marie-Jeanne Grellier avec son esclave.png|Marie-Jeanne Grellier avec son esclave File:Chanteloub, Portrait de Marie-Anne Grellier dans les bras de sa nourrice.png|Marie-Anne Grellier dans les bras de sa nourrice </gallery> </Center> === 1603 === '''[[w:1603|1603]]''' * 1603 - La lignée de Troyes de la [[w:Famille Colbert|famille Colbert]], lignée cadette et seule branche aujourd'hui subsistante, est anoblie en 1603 par l'achat d'une charge de Conseiller Secrétaire du Roi. === 1604 === [[w:1604|1604]] === 1605 === [[w:1605|1605]] === 1621 === [[w:1621|1621]] === 1637 === [[w:1637|1637]] === 1652 === [[w:1652|1652]] * 1652 - Jan van Riebeeck arrive à Table Bay en avril 1652. === 1663 === [[Fichier:Estat de l'illustre confrérie de Saint-George Franche-Comté de Bourgogne, 1663 page de titre.png|100 px|vignette|gauche|Confrérie de Saint-George, Franche-Comté, Bourgogne, 1663]] * 1663 - {{bibliographie|Q132530623}} <!-- Estat de l'illustre confrérie de Saint-George, autrement dicte de Rougemont, en la Franche Comté de Bourgongne --> === 1664 === [[Fichier:1664AmeriqueNord.jpg|100px|vignette|gauche|1664 - Géopolitique. Colonisations européennes au N-E des Amériques. Brun=Iroquois, Orange=Néerlandais Bleu=France, Rouge=Anglais, Violet=Français sous occupation anglaise]] [[w:1664|1664]] * 1664 - {{bibliographie|Q113006238}} <!-- Déclarations du Roy de France : l'une, portant établissement d'une Compagnie pour le commerce des Indes Orientales --> === 1665 === [[w:1665|1665]] * 1665 - [[w:Jean-Baptiste Colbert|Jean-Baptiste Colbert (1619-1683)]] devient Contrôleur général des finances jusqu'en 1683. === 1680 === [[w:1680|1680]] * [[w:1680|1680]]-[[w:1715|1715]] - En 1680, commence, d'après [[w:Paul Hazard|Paul Hazard]], une [[w:La Crise de la conscience européenne|Crise de la conscience européenne]] qui se poursuivra jusqu'à la fin du règne de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] * 1680 - François Le Gallois traduit "De bibliothecis liber singularis" du latin de Johannes Lomeier, ({{bibliographie|Q28822758}}) === 1684 === [[w:1684|1684]] * 1684 - François Bernier publie [[d:Q24025026|Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent]] dans [[d:Q24025038|Le Journal des sçavans]], {{bibliographie|Q24025038}}, {{BNF|343488023 }}, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56535g/f135.item p. 135]. === 1685 === [[Fichier:Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française page 1.jpg|100px|vignette|gauche|Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française, page 1]] [[Fichier:EdiktPotsdam.jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:1685|1685]] * Janvier 1685 - {{bibliographie|Q113005883}} <!-- 1685 - Déclaration du Roy, pour l'établissement d'une compagnie sous le titre de la Compagnie de Guinée --> * Mars 1685 : Promulgation à Versailles de l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|ordonnance ou édit du Roy sur les Esclaves des Isles de l'Amérique]] * 8 novembre 1685 : En réponse à la révocation de l’[[w:Edit de Nantes|édit de Nantes]] par l’[[w:Édit de Fontainebleau (1685)|édit de Fontainebleau]], Proclamation de l’[[w:Édit de Potsdam|édit de Potsdam]] du 29 octobre 1685 qui encourage les Huguenots opprimés à émigrer vers les territoires de [[w:Frédéric-Guillaume Ier de Brandebourg|Frédéric-Guillaume Ier]], électeur de [[w:Brandebourg|Brandebourg]] et duc de [[w:Prusse|Prusse]]. Les huguenots persécutés en France se voient accorder l'hospitalité en Brandebourg-Prusse et de nombreux avantages. == 1688 == [[Fichier:The 1688 Germantown Quaker petition against slavery.jpg|100px|vignette|gauche|The 1688 Germantown Quaker petition against slavery]] * 1688 - [[w:Protestation de Germantown|Protestation de Germantown contre l'esclavage]] == 1699 == * 1699 - {{bibliographie|Q118467962}} <!-- Relation d'un voyage fait en 1695, 1696 et 1697 aux côtes d'Afrique, détroit de Magellan, Brésil, Cayenne et isles Antilles --> == Chronologie {{S|XVIII}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>Emergence de la puissance britannique & finitude des mondes européens</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:Retrat de Carles III davant el port de Barcelona, Frans van Stampart.jpg|L'archiduc Charles de Habsbourg d'Autriche devant le port de Barcelone File:Philippe de France proclamé roi d'Espagne.jpg|Philippe de France proclamé [[w:Philippe V (roi d'Espagne)|Philippe V]], [[w:Liste des souverains d'Espagne|d'Espagne]] et des [[w:Indes occidentales espagnoles|Indes occidentales espagnoles]], [[w:1716|1716]]–[[w:1746|1746]] </gallery> </div> [[Fichier:Europe, 1700—1714.png|100 px|vignette|gauche|L'Europe vers 1700-1714]] [[c:File:Herman Moll - Map of Europe Europe According to the Most Exact Observations, Londres, 1708 600.png|Herman Moll.- Une cartographie de l'Europe en 1708-ca1720]] [[File:1706 De La Feuille Map of Europe - Geographicus - Europe-lafeuille-1706.jpg|100px|vignette|gauche|Jacob de La Feuille.- Cartographie de l'Europe, 1706]] [[Fichier:Herman Moll - To Her most Sacred Majesty Ann Queen of Great Britain, France & Ireland, London, 1708-ca1720 ).png|100px|vignette|gauche|Une cartographie de l'Europe entre 1708 et ca.1720]] [[Fichier:Western Europe Utrecht Treaty.jpg|100px|vignette|gauche|L'Europe des Traités d'Utrecht]] === Le monde européen dans le premier {{S|XVIII}} === D'[[w:Traités d'Utrecht (1713)|Utretch]] à Paris, trois traités redessinent les territoires politiques et commerciaux autour des nouvelles métropoles européennes : Les traités d'Utrecht en 1713, puis ceux de [[w:Traité de Paris (1763)|Paris en 1763]]. Dès 1713, au moment de la signature des [[w:Traités d'Utrecht (1713)|traités d'Utrecht]], le tout nouveau État souverain de [[w:Grande-Bretagne (royaume)|Grande-Bretagne]], constitué par l’[[w:Acte d'Union (1707)|Acte d'Union de 1707]] et composé des précédents [[w:Royaume d'Écosse|Royaume d'Écosse]] et [[w:Royaume d'Angleterre|Royaume d'Angleterre]], le [[w:pays de Galles|Pays de Galles]] étant inclus dans l'ancien Royaume d'Angleterre, signe, d'une part, le traité avec la France et, d'autre part, le traité avec l'Espagne. En apposant sa signature au bas des deux traités mettant fin aux [[w:guerre de Succession d'Espagne|conflits armés]] qui, de 1701 à 1714, avaient opposés plusieurs puissances européennes durant 13 longues années, le [[w:Grande-Bretagne (royaume)|royaume de Grande-Bretagne]] s'érige en puissance politique européenne, atlantique et américaine. ==== Le trône d'Espagne et son empire colonial : Les traités d'Utretch ==== [[Fichier:Vivien - Philip V of Spain - New Castle Schleißheim.jpg|100px|vignette|gauche|Le Duc d'Anjou, petit-fils de [[w:Louis XIV|Louis XIV]]]] File:Vivien - Philip V of Spain - New Castle Schleißheim.jpg|Le Duc d'Anjou, petit-fils de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] Le {{1er}} novembre 1700, [[w:Charles II d'Espagne|Charles II]] d'Espagne meurt sans descendance : la couronne de [[w:Royaume de France|France]], [[w:Maison capétienne de Bourbon|Bourbon]]), et celle d'[[w:Archiduché d'Autriche|Autriche]] ([[w:Habsbourg|Habsbourg]]) revendiquent alors le trône et la souveraineté sur les colonies liées à l'Espagne, ouvrant une guerre de Succession qui durera de 1701 à 1714. Le 11 avril 1713, les [[w:Traités d'Utrecht (1713)|traités d'Utrecht]] sont signé qui mettent fin à la Guerre de Succession d'Espagne. ==== Emergence de la puissance britannique ==== [[Fichier:Opening Utrecht 29 janvier 1712.png|100px|vignette|gauche|Ouverture du Congrès d'Utrecht le 20 janvier 1712]] * [[w:en:Treaty of Utrecht#Negotiations|29 janvier 1712]] - Ouverture du Congrès d'Utrecht qui aboutira aux traités éponymes == La finitude des mondes après les guerres de Succession d'Espagne == [[Fichier:L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté dans des cartes générales et particulières du ciel et de la terre, p. 11 (cropped).jpg|100px|vignette|gauche]] [[File:Treaty of Utrecht 1713.png|100px|vignette|gauche|Traité d'Utrecht, 1713<ref>L'idée de la paix conclue dans la ville d'Utrecht le 11 avril et 12 mai 1713</ref>]] [[Fichier:Antoine Rivalz, An Allegory, Probably of the Peace of Utrecht of 1713.png|100px|vignette|gauche|Antoine Rivalz.- Alégorie de la paix d'Utrecht, 1713]] [[Fichier:Utrecht Treaty.png|100px|vignette|gauche|Cessions territoriales et de souveraineté résultant des traités d'Utrecht, Stockholm et Passarowitz]] === 1705-1717 - Nicolas de Fer, L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté === * 1705-1717 - {{bibliographie|Q118726886}}<ref>Voir échange avec Yann : [[c:Special:PermanentLink/772747042#L'Atlas Curieux ou le Monde Represente ans des Cartes Generales et Particulières du Ciel et de la Terre|L'Atlas Curieux ou le Monde Representé ans des Cartes Générales et Particulières du Ciel et de la Terre]]</ref>. <!-- L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté dans des cartes générales et particulières du ciel et de la terre --> === 1712-1715 - Négociations européennes à Utrecht === En décembre 1712, des négociations européennes s'ouvrent à Utrecht, en Hollande, afin de mettre un terme aux guerres de succession d'Espagne. Les diplomates européens se réunissent en congrès, toujours à Utrecht, à partir du 29 janvier 1712. Les procédures de signatures des traités se poursuivront jusqu'au 15 novembre 1715 === 1712 === [[w:1712|1712]] * décembre 1712.- Ouverture des négociations européennes. === 1713 === [[w:1713|1713]] [[File:Partie du Canada ou nouvelle France et de la Nouvelle Angleterre, de l'Acadie aprés le traité de la paix d'Utrecht du 22 avril 1713.png|100 px|vignette|gauche|Canada (Nouvelle France, Nouvelle Angleterre, Acadie) après le traité de la paix d'Utrecht du 22 avril 1713]] [[Fichier:Terre-Neuve.png|100px|vignette|gauche|Terre-Neuve : Droits de pêche sur la côte française de Terre-Neuve de 1713 à 1904.]] * 1713-1715.- Les [[w:Traités d'Utrecht (1713)|Traités d'Utrecht (1713-1715). Deux [https://wikimonde.com/article/Traités_d%27Utrecht_%281713%29 traités de paix signés à Utrecht] mettent fin à la [[w:Guerre de Succession d'Espagne|guerre de Succession d'Espagne]]. Le premier est signé le 11 avril entre le royaume de France et le royaume de Grande-Bretagne, le second le 13 juillet, entre l'Espagne et la Grande-Bretagne. Outre ces deux premiers traités, s'ajoutent les traités [[w:Traité de Rastatt|de Rastatt (6 mars 1714)]], de [[w:Traité de Baden|Baden (7 septembre 1714)]] et d'Anvers (15 novembre 1715) qu'on regroupe sous le nom de Traités d'Utrecht. Le traité est le premier rédigé en français. Il inaugure la primauté du français comme langue diplomatique jusqu'au traité de Versailles, en 1919. Ces traités marquent le début de la puissance maritime et commerciale de la Grande-Bretagne qui, dès lors, va étendre ses colonies sur toute la Planète. ** Bibliographie<br />{{bibliographie|Q17362972}}<br />{{Bibliographie|Q28074756}} * [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/memoire_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=ARN01_20083501148 Vue d'une carte de Terre Neuve du traité d'Utrecht (1713)] (fouille M. L'Hour/Drassm, E. Veyrat/Drassm). === 1714 === [[w:1714|1714]] [[Fichier:Pontiac chief.png|100px|vignette|gauche|Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]], (c.1714 † 20 avril 1769), par John Mix Stanley (1814–1872)]] * 1714 (circa) † 20 avril 1769.- Naissance de Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]] dans la Nation [[w:Amérindiens au Canada|Nation amérindienne des Outaouais, Canada]] qui se nomme plus volontiers [[w:Anishinaabe|Nishnaabe ou Anishinaabe]], ou ''peuple des origines''. === 1715 === [[w:1715|1715]] * 13 août 1715 - Signature du [[w:Traité de commerce et d'amitié entre la France et la Perse|traité de commerce et d'amitié entre la France et la Perse]] à Versailles * 1715 - [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/memoire_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=ARN01_20083501148 Plan géométral de l'Isle de Terre-Neuve après le Traité de paix d'Utrecht (1712-1715)]. [[w:Terre-Neuve|Terre-Neuve]] est un lieu de [[w:Morue#Pêche|pèche à la morue]] depuis un millénaire environ. Les Vikings qui y débarquent vers l'an 1000 laissent une première trace américaine dans l’histoire européenne. Une colonie britannique s'établie sur ces côtes du nord du continent américain vers 1497, cinq ans après le premier voyage de Christophe Colomb. Dès lors, l'histoire coloniale de la région suivra des voies originales tout comme la protection de son écosystème marin. [[w:Saint-Pierre-et-Miquelon|Saint-Pierre-et-Miquelon]] est le vestige de la présence française dans les eaux et sur le territoire insulaire du grand nord américain. === 1719 === [[w:1719|1719]] [[Fichier:Swedish Empire (1560-1815) fr.svg|100px|vignette|gauche|Expansion et déclin territorial de l''empire suédois' de 1580 à 1815.]] 1719-1720 - Deux traités sont négociés à Stockholm, par le roi [[w:Frédéric Ier de Suède|Frédéric I{{er}}]] pour mettre fin à la "[[w:grande guerre du Nord|Grande guerre du Nord]]". Le premier traités de Stockholm est signé entre la [[w:Suède|Suède]] et l'[[w:électorat de Brunswick-Lunebourg|Electorat de Hanovre]]. Le second entre la Suède et le [[w:royaume de Prusse|Royaume de Prusse]]. Ces deux traités qui suivent les traités d'Utretch montrent comment l'espace européen (Eurasie ?) se transforme tant du point de vue de la répartition territoriale des formes de gouvernement que de la puissance économique, sous l'effet de la première mondialisation. === 1719 === [[w:1719|1719]] 1719 - Premier traités de Stockholm, conclu le {{date|20|novembre|1719}} (9 novembre du calendrier julien), entre le [[w:Histoire de la Suède|Royaume de Suède]] et l'[[w:électorat de Brunswick-Lunebourg|Electorat de Hanovre]] fait perdre à la Suède le contrôle du [[w:Brême-et-Verden|Brême-et-Verden]]<ref>Voir second traité de 1720</ref>. === 1720 === [[w:1720|1720]] 1{{er}} février 1720 - Le second traité de Stockholm, conclu le {{date|1|février|1720}} (21 janvier du calendrier julien), entre l'[[w:Empire suédois|Empire suédois]], (1611-1718)<ref>L'[[w:Empire suédois|Empire suédois]] (du suédois : ''stormaktstiden'', « le temps de la grande puissance ») est, dans l'historiographie moderne, la période historique entre 1611 et 1718 où la [[w:Suède|Suède]] est l'une des [[Grande puissance|grandes puissances]] de l'Europe. Empire suédois est précédée par la période Vasa, (1521-1611), et suivie par l'[[w:Ère de la Liberté|Ère de la Liberté]], (1719-1772).</ref>, et le [[w:royaume de Prusse]]. la Suède y perd une partie de la [[w:Poméranie suédoise|Poméranie suédoise]] (au sud de la [[w:Peene|Peene]]) et l'Ouest du [[w:Peenestrom|Peenestrom]], les îles d'[[w:Usedom|Usedom]] et de [[w:Wolin (île)|Wolin]], ainsi que les villes de [[w:Szczecin|Stettin]], Damm et [[w:Goleniów|Goleniów]]. === 1733 === [[w:1733|1733]] * 1733 - [[w:Sugar and Molasses Act|Sugar and Molasses Act]], loi britannique sur les sucres et mélasses qui impose une taxe de six cents par gallon de mélasse entrant aux treize colonies américaines. Les Traités d'Utrecht (1713) avaient fait de l'Angleterre la première puissance maritime. Mais, la puissance du Royaume-Uni est rapidement concurrencée par la croissance de l’économie coloniale de la France. L'Angleterre met en place une politique protectionniste en établissant des taxes. === 1734 === [[w:1734|1734]] * 6 juillet 1734 - Ordonnance du Roy qui règle la forme des certificats de la traite des nègres aux Iles françaises d'Amérique [[Fichier:Ordonnance du Roy du 6 juillet 1734 qui règle la forme des certificats de la traite des nègres iles frses Amérique.png|100px|vignette|gauche|source : {{BNF|34569179r}}-Gallica]] === 1738 === [[w:1738|1738]] * 4 juin [[w:1738|1738]] - Naissance de George William Frederick, futur [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III (roi du Royaume-Uni)]], à [[w:en:Norfolk House|Norfolk House]], à [[w:Londres|Londres]]. Son règne (1760-1820) sera ponctué par les guerres entre les puissances européennes, les guerres coloniales, l'[[w:en:George III of the United Kingdom#American War of Independence|indépendance des États-Unis d'Amérique]], la [[w:en:French Revolution|Révolution française]], les [[w:en:Napoleonic Wars|guerres napoléoniennes]] (1803-1815) et les conflits autour de l’empire colonial espagnol. En 1811, [[w:en:George IV of the United Kingdom|George, Prince de Galles]], devient régent puis succède à son père en 1820. * 1738.- La bulle pontificale [[w:In eminenti apostolatus specula|In eminenti apostolatus specula]] de 1738 condamne la [[w:franc-maçonnerie |franc-maçonnerie]] et excommunie ses membres (position rappelée, au nom de Jean-Paul II, par le cardinal Ratzinger en 1983). === 1740 === [[w:1740|1740]] 1740-1748 - Guerres de Succession d'Autriche À la mort de Karl von Habsburg [[w:Charles VI (empereur des Romains)|Archiduc d'Autriche, roi de Hongrie sous le nom de Charles III de Habsbourg]]<ref>Empereur des Romains sous le nom de Charles VI.</ref>, les guerres de succession d'Autriche (1740-1748) opposent sa fille [[w:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)#Héritière des États des Habsbourg|Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)]], héritière des États des Habsbourg en vertu de la [[w:Pragmatique Sanction (Autriche)|Pragmatique Sanction]], soutenue par la Grande-Bretagne et les Provinces-Unies, à l'électeur Charles-Albert de Bavière, élu empereur (Charles VII), soutenu par l'Espagne, la France, la Prusse et la Saxe. En 1748, le [[w:Traité d'Aix-la-Chapelle (1748)|traité d'Aix-la-Chapelle]] met fin aux Guerres de Succession d'Autriche <Center> <gallery> File:Charles VI in hunting dress - Kunsthistorisches Museum.jpg|[[w:Charles VI (empereur des Romains)|Charles III Archiduc d'Autriche]], † Vienne, 20 octobre 1740. File:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780), héritière des États des Habsbourg.png|[[w:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)#Héritière des États des Habsbourg|Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)]], héritière des États des Habsbourg en vertu de la [[w:Pragmatique Sanction (Autriche)|Pragmatique Sanction]] </gallery> </Center> === 1741 === [[Fichier:N6700100 JPEG 1 1DM.jpg|100px|vignette|gauche|Carte des côtes méridionales de l'isle de Terre Neuve]] [[w:1741|1741]] * 1741.- Cartographie {{bibliographie|Q28082556}} === 1746 === [[w:1746|1746]] === 1748 === [[Fichier:France - Traité de paix conclu à Aix-la-Chapelle le 18 octobre 1748.jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:1748|1748]] * 1748 - Le [[w:Traité d'Aix-la-Chapelle (1748)|traité d'Aix-la-Chapelle]] met fin aux Guerres de Succession d'Autriche<ref>* 1758 - {{bibliographie|Q28869832}}</ref> === 1750 === [[w:1750|1750]] * 1750 - {{bibliographie|Q28843729}} === 1751 === [[w:1751|1751]] * 1751.- La bulle pontificale [[w:Providas romanorum|Providas romanorum]] de 1751 prononce une nouvelle condamnation de la Franc-maçonnerie, après In eminenti apostolatus specula (1738). === 1756 === [[w:1756|1756]] * 1756-1763 - Guerre de Sept Ans * 1756 - Début de la guerre de Sept Ans (1756-1763), conflit majeur qui oppose les puissances européennes sur le continent Européen, sur terre, sur mer et dans les colonies. Ce conflit qui implique les colonies d'Outre-mer peut être qualifié de "guerre mondiale". === 1757 === [[w:1757|1757]] * 1757- Parution de {{bibliographie|Q28768643}} === 1759 === [[w:1759|1759]] * 1759-1809 - Bataille de la Martinique ** 1759.- [[w:Invasion de la Martinique (1759)|Invasion de la Martinique]] par les forces britanniques, début des [[w:Bataille de la Martinique|rivalités armées]]<ref>Wikipédia répertorie sous le titre "[[w:Bataille de la Martinique|Bataille de la Martinique]]" la rivalité entre les armées du [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]] et de la [[w:France|France]] entre 1759 et 1809, pour la possession de l’Ile de la [[w:Martinique|Martinique]].</ref> entre le [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]] et la [[w:France|France]] pour la possession de l’Ile de la [[w:Martinique|Martinique]] qui dureront jusqu'en 1809.<br />Des affrontements se sont déroulés sur terre ou au large de l'île depuis l’[[w:Invasion de la Martinique (1759)|invasion]] de [[w:1759|1759]] jusqu'à la [[w:prise de la Martinique (1794)|conquête]] de la colonie en [[w:1794|1794]].<br />Malgré les efforts de la Première République, 21 septembre 1792 - 9 novembre 1799 ([[w:Convention nationale|Convention nationale]], 21 septembre 1792 - 26 octobre 1795 ; [[w:Directoire|Directoire]], 26 octobre 1795 - 9 novembre 1799 ; [[w:Consulat (histoire de France)|Consulat]], 9 novembre 1799 - 18 mai 1804) ; puis du [[w:Premier Empire|premier empire]], 18 mai 1804 - 14 avril 1814, [http://www.napoleon.org/fr/salle_lecture/articles/files/Napoleon_Angleterre_2_marine.asp#ancre7 sous Napoléon], la Martinique ne sera pleinement reconnue colonie française qu'au [[w:Congrès de Vienne|Congrès de Vienne]] en [[w:1815|1815]]. *1759 - Invasion de la Guadeloupe ** 1759.- [[w:Invasion de la Guadeloupe (1759)|Invasion de la Guadeloupe]] === 1761 === [[Fichier:Géolocalisation de l'Ile Tromelin OSM (6080162).png|100px|vignette|gauche|Géolocalisation de l'Ile Tromelin]] [[w:1761|1761]] 1761 - Naufrage de L'Utile : les esclaves oubliés de Tromelin === 1763 === [[Fichier:Pontiac in 1763.jpg|100px|vignette|gauche|Pontiac en 1763]] [[w:1763|1763]] * 1763.- Après le traité de Paris, Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]] rassemble les Nations Amérindiennes de la région des Grands Lacs contre l'occupation Britannique<ref>Fascicule de vulgarisation sur le traité de Paris, 1763 : {{bibliographie|Q29018702}} 2014</ref> === 1789 === [[w:1789|1789]] * c.1789-1790 - Naissance de [[w:Saartjie Baartman|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman (''Saartjie Baartman'')]]. Surnommée la "''Vénus hottentote''", elle serait née aux abords de la [[w:Gamtoos|Gamtoos River]] ([[w:Cap-Oriental|Cap-Oriental]]) aux alentours de [[w:1789|1789]] dans l'actuelle [[w:Afrique du Sud|Afrique du Sud]] au sein du peuple [[w:Khoïkhoï|Khoïkhoï]] ([[w:Khoïsan|Khoïsan]]), le plus ancien de la région sud de l'[[w:Afrique|Afrique]]. Elle mourra à [[w:Paris|Paris]] le {{date|29|décembre|1815}} 29 décembre 1815. == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Chronologie 1763-1848/]] }} pkiz06nzoy69ilw9htc83x1fbij11pz 986953 986952 2026-10-02T17:11:00Z Ambre Troizat 8860 /* 1637 */ Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences 986953 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Annexe | idfaculté = histoire | numéro = 1 | niveau = 9 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Chronologie 1763-1848/]] }} __TOC__ {{Clr}} == 1492 - 1499 == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>1492 - Le ravissement des mondes</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:La Rendición de Granada - Pradilla.jpg|Francisco Pradilla y Ortiz (1848–1921).- Reddition de Grenade, 2 janvier 1492, 1882 File:Monumento a Colón (Madrid) 02b.jpg|17 avril 1492 - Les monarques d’Espagne, acceptent de financer l’expédition de Christophe Colomb File:Columbus Taking Possession.jpg|Christophe Colomb arrive dans l'espace des Caraïbes<ref>Représentation de l’arrivée de Christophe Colomb dans l'espace des Caraïbes, L. Prang & Co., Boston, 1893</ref> File:Randolph Rogers - USCapitolDoors 1855–1861, Columbus's First Encounter with the Indians, 1492.png|100px|vignette|gauche|1492 - Rencontre de Christophe Colomb avec les Améridiens </gallery> </div> </Center> === 1492 === [[w:1492|1492]] <Center> 1492 - l’"[[w:oc:Annada Cruciala|Año crucial]]", ''[[w:Année cruciale|Année cruciale]]'', dans l’historiographie espagnole </Center> ==== 1492 - reddition de Grenade ==== * 2 janvier 1492 - [[wikt:reddition|Reddition]] de [[w:Prise de Grenade|Grenade]] & fin des [[w:Guerres de Grenade|Guerres de Grenade]]. [[w:Isabelle Ire de Castille|Isabelle I{{re}} de Castille]] (°[[w:1451|1451]] - †[[w:1504|1504]]), reine de [[w:Royaume de Castille|Castille]] et de [[w:Royaume de León|León]] ([[w:1474|1474]]-[[w:1504|1504]]), dite ''Isabelle la Catholique'', épouse de [[w:Ferdinand II d'Aragon|Ferdinand II d'Aragon, 1452-1516]], [[w:Ferdinand le Catholique|dit ''le Catholique'']], roi d’[[w:Royaume d'Aragon|Aragon]], deviennent souverains dans la péninsule ibérique, à l'exclusion du Portugal. "Rois catholiques", ils vont mener une [[w:Ferdinand le Catholique#Une politique expansionniste|politique expansionniste]] en Europe, en Méditerranée, en Afrique et, bientôt, au Nouveau Monde. * 17 avril 1492 - Les monarques d’Espagne, acceptent de financer l’expédition de Christophe Colomb * 30 avril 1492 : Lettres patentes accordées à Christophe Colomb<ref>[http://gallicalabs.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5667335h/f247.image Alphonse Gourd.-Les chartes coloniales et les constitutions des États-Unis de l'Amérique du Nord, p. 194].<br /> [http://mjp.univ-perp.fr/traites/1492colomb.htm Université de Perpignan.- Le Nouveau Monde]</ref>. === 1494 === [[File:Giovanni Bilivert.- Isabelle d'Aragon implorant Charles VIII, Naples, 1494.png|vignette|100px|left|Isabelle d'Aragon implorant [[w:Charles VIII (roi de France)|Charles VIII roi de France]], Naples, 1494]] ;'''[[w:1494|1494]]''' ==== 7 juin 1494 - Le traité de Tordesillas ==== [[Fichier:Treaty of Tordesillas.jpg|vignette|100px|left|Le traité de Tordesillas, Bibliothèque National de Lisbonne, 7 juin 1494]] * 7 juin 1494 : L'Espagne et le Portugal établissent le [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]]. * 2 juillet 1494 : La version espagnole du [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]] est ratifiée à Arévalo par le roi Ferdinand II d'Aragon et la reine Isabelle I{{re}} de Castille. * 5 septembre 1494 : La version portugaise du [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]] est ratifiée à Setúbal par le roi Jean II de Portugal. ==== 2 septembre 1494 - Début des guerres d'Itale ==== * 2 septembre 1494 : Charles VIII, roi de France de 1483 à 1498, franchit franchit le [[w:Col de Montgenèvre|col de Montgenèvre]] et entre en Italie. Ainsi commence la première des [[w:Guerres d'Italie|Guerres d'Italie]]. === 1497 === [[w:1497|1497]] * 8 juillet 1497 : Sur commande de [[w:Manuel Ier (roi de Portugal)|Manuel Ier, roi de Portugal]], Vasco de Gama quitte le Tage pour contourner les côtes de l'Afrique et atteindre l'Asie orientale. == Chronologie {{S|XVI}} == <Center> <br /> <br /> <span style="font-size:20px;">'''<strong>{{S|XVI}} - Brevísima relación de la destrucción de las Indias</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:Gama armada in India, 1502.gif|1502, Vasco de Gama arrive aux Indes File:Atahualpa Inca XIV.png|1502, Naissance de Atahualpa Inca XIV du Pérou, (c. 1502 – August 26, 1533 Quito, Ecuador) File:Wpdms verrazano voyage map 2.jpg|Voyage de Giovanni da Verrazzano aux Amériques en 1523-1528 File:Atawallpap umanta kuchunku.gif|Assassinat de Atahualpa, Inca XIV & dernier du Pérou, (c. 1502 – August 26, 1533 Quito, Ecuador)] File:Cartier First Voyage Map 1 fr.png|1534, 1{{er}} Voyage de Jacques Cartier.]] </gallery> </div> </Center> === 1502 === [[w:1502|1502]] * c. 1502 - Naissance de Atahualpa, futur Inca XIV du [[w:Pérou#Conquête et vice-royauté|Pérou]]. Il sera assassiné en 1533 à [[w:Quito|Quito]], actuelle [[capitale]] de l'[[w:Équateur (pays)|Équateur]] et de la [[w:Pichincha (province)|province de Pichincha]]. === 1507 === [[w:1507|1507]] <Center> [[Fichier:Waldseemuller map 2.jpg|200px|vignette|centré|Planisphère de Martin Waldseemüller, Universalis Cosmographia, 1507]] </Center> [[Fichier:Cosmographiae Introductio-Saint-Dié.jpg|100px|vignette|gauche|Petit traité de géographie accompagnant la carte du monde Universalis Cosmographia. Conservé à la Médiathèque Victor-Hugo, salle du Trésor, [[w:Saint-Dié-des-Vosges|Saint-Dié-des-Vosges]].]] * 1507 - Le 25 avril 1507 [[w:Martin Waldseemüller|Martin Waldseemüller]] publie Cosmographiæ Introductio, ou, en français : "''Introduction à la cosmographie avec quelques éléments de géométrie et d'astronomie nécessaires à l'intelligence de cette science, ainsi que les quatre voyages d'Amerigo Vespucci et la reproduction du monde entier tant en projection sphérique qu'en surface plane, y compris les régions que Ptolémée ignorait et qui n'ont été découvertes que récemment». L'ouvrage comprend the [[c:Fichier:Waldseemuller map 2.jpg|Waldseemüller map from 1507]], the first map to include the name "America" and the first to depict the Americas as separate from Asia. There is only one surviving copy of the map, which was purchased by the [[w:Library of Congress|Library of Congress]]<ref>[https://www.loc.gov/resource/g3200.ct000725C/ Library of Congress]</ref> in 2001 for $10 million.<br /> Ci-contre : Un des exemplaires de la [[c:Fichier:Cosmographiae Introductio-Saint-Dié.jpg|troisième édition de Cosmographiae Introductio imprimée à Saint-Dié en 1507]]. Petit traité de géographie qui accompagnait la carte du monde Universalis Cosmographia. Conservé dans la salle du Trésor de la Médiathèque Victor-Hugo de Saint-Dié-des-Vosges. === 1523 === [[w:1523|1523]] * 1523 - [[w:François Ier (roi de France)|François Ier de France]] commence à encourager les explorations au nord des [[w:Amérique|Amériques]]. Il prend à son servie [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]], né aux environs de 1485 et mort en 1528. * 1523 - Giovanni da Verrazzano appareille de Dieppe en juin 1523 à bord de La Dauphine mise à disposition par le Royaume de France. === 1524 === [[w:1524|1524]] * 1524 - Ayant atteint Madère, [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]] entreprends la traversée de l'Atlantique le 17 janvier 1524. Verrazano atteint l’Amérique du Nord, cartographie [[w:Terre-Neuve#XVe siècle|Terre-Neuve]], puis fonde la Nouvelle-Angoulême, future Nouvelle-Amsterdam puis New York, en hommage à la famille du roi de France. Son objectif est de trouver un passage vers le nord-ouest menant directement aux Indes<ref>Voir le deuxième voyage de Giovanni da Verrazzano en 1528.</ref>. === 1525 === [[Fichier:Charles V visits François Ier after the Battle of Pavia.jpg|100px|vignette|gauche|1525 - [[w:Charles Quint|Charles Quint]] visite François I{{er}} après la [[w:Bataille de Pavie (1525)|Battaille de Pavie de 1525]].]] [[w:1525|1525]] * 1525 - [[w:François Ier de France|François I{{er}}]] est capturé à la bataille de Pavie au cours de la [[w:Septième guerre d'Italie|septième guerre d'Italie]].[[w:Charles Quint|Charles Quint]] d'Espagne vient lui rendre visite dans la prison à Madrid. Par [[w:Traité de Madrid (1526)|traité de Madrid]] du 14 janvier 1526, il renoncera à ses prétentions en [[w:Italie|Italie]], cèdera la [[w:Bourgogne|Bourgogne]] à l'[[w:Espagne|Espagne]] et abdiquera sa souveraineté sur les [[w:Flandre française|Flandres]] et l'[[w:Artois|Artois]]. Il obtiendra sa libération et toutes les conssessions ne seront pas appliquées contre la détention de ses deux fils.<br />{{Bibliographie|Q28472796}}, 1645, contenant le ''[https://books.google.fr/books?id=stpCAQAAMAAJ&hl=fr&pg=PA3#v=onepage&q&f=false Traité de paix fait en la ville de Madrid, l'an M. D. XXVI : entre Charles V, Empereur, et François I. Roy de France].<br />{{Bibliographie|Q19230568}}, 1858. === 1528 === [[w:1528|1528]] * Deuxième voyage de [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]]. Sa mort surviendra la même année, probablement en [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]]<ref>Michel Mollat, ''Giovanni et Girolamo Varrazano, navigateurs de François I{{er}}'' Paris, 1982, {{p.}}122.</ref> === 1530 === [[Fichier:Siege of Florence.JPG|100px|vignette|gauche|Giorgio Vasari (1511–1574).- Siege of Florence en 1530]] [[w:1530|1530]] === 1533 === [[w:1533|1533]] * 1533 - Le 26 août 1533, à [[w:Quito|Quito]], actuel [[w:Équateur|Équateur]], le pouvoir colonial espagnol assassine [[w:Atahualpa|Atahualpa]], dès lors, dernier souverain de l'[[w:Empire inca|empire pré-colombien Inca]]. === 1534 === [[File:Postcard of butter sculpture tableau of the meeting of Jacques Cartier and Donnacona, Franco-British Exhibition,London, 1908.jpg|100px|vignette|gauche|1534, Cartier rencontre Danacona]] [[w:1534|1534]] * 1534 - [[w:François Ier (roi de France)|François Ier de France]] confie à [[w:Jacques Cartier|Jacques Cartier]] la mission de découvrir « certaines îles et pays où l’on dit qu’il se doit trouver grande quantité d’or et autres riches choses ». * 1534 - Premier voyage de [[w:Jacques Cartier|Jacques Cartier]]. Après vingt jours de traversée du 20 avril au 10 mai, l'expédition parti de Saint-Malo traverse l’Atlantique nord, atteint [[w:Terre-Neuve|Terre-Neuve]] et l’embouchure du Saint-Laurent, remonte le fleuve et fonde le poste de Sainte-Croix (future Québec), atteint le village de Hochelaga, renommé Mont-Royal (future Montréal). La Nouvelle-France est fondée. === 1535 === [[File:Cartier Second Voyage Map 1 fr.png|100px|vignette|gauche|1535-36, 2{{e}} voyage de Jacques Cartier.]] [[w:1535|1535]] * 1535 - Deuxième voyage de Jacques Cartier (1535-1536) === 1536 === [[w:15356|1536]] * 1536 - [[w:Donnacona (chef indien)|Donnacona]] était le chef du village iroquoien Stadaconé jusqu'en mai 1536, lorsqu’il fut capturé & emmené en France par Jacques Cartier. === 1539 === [[Fichier:François 1er - Ordonnance de Villers-Cotterêts, Acte royal, 10 -25 août 1539.djvu|100px|vignette|gauche|François 1er - Ordonnance de Villers-Cotterêts, Acte royal, 10 -25 août 1539, {{BNF|338105253}}.]] [[w:1539|1539]] ==== Ordonnance du roy François premier sur le faict de la justice & abréviation des procez, faicte en l'an 1539 ==== * 1539 - François Ier, roi de France, 1494-1547.- Ordonnance du roy François premier sur le faict de la justice & abréviation des procez, faicte en l'an 1539, Acte royal, août 1539, [[w:Villers-Cotterets|Villers-Cotterets]], {{BNF|33849891h}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9747089j lire en ligne] * 1786 - [[d:|André-Jean Boucher d’Argis]]<ref>Cf. [[c:File:Information des Journées du 5 et 6 octobre 1789. La voilà donc enfin ce secret plain d'horreur (BM 1868,0822.7125).jpg|Information des Journées du 5 et 6 octobre 1789. La voilà donc enfin ce secret plain d'horreur !]]. Satire on the march to Versailles: a man seated at a table blowing bubbles, each of which is labelled 'Déposition' with a Roman number, while two other applaud. October 1789. De Vinck identifies the persons as Boucher d'Argis, who demanded the prosecution of those involved on the march to Versailles, and abbé Grégoire and Pétion. The investigations at the police headquarters at the Châtelet led nowhere.</ref> [[w: Livre:Boucher d’Argis - Ordonnance du mois d’aoust 1539, 1786.djvu|Ordonnance du mois d’aoust 1539, 1786]] * 2010 - {{bibliographie|Q117303780}} <!-- L’ordonnance de 1539 et l’unification du royaume de France --> * 1539 - Mort de [[w:Donnacona (chef indien)|Donnacona]], chef du village iroquoien Stadaconé jusqu'en mai 1536, capturé & emmené en France par Jacques Cartier. === 1558 === [[w:1558|1558]] == Chronologie {{S|XVII}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>{{S|XVII}}</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:The First Thanksgiving Jean Louis Gerome Ferris.png|[[w:Jean Leon Gerome Ferris|J.- L. G. Ferris]].- 1621, Le premier "Thanksgiving", Library of Congress, c.1912-1915 File:Charles Bell - Jan van Riebeeck se aankoms aan die Kaap.jpg|Jan van Riebeeck arrive à Table Bay en avril 1652]] File:The sisters Mademoiselle de Blois and Mademoiselle de Nantes by Philippe Vignon.jpg|Philippe Vignon (1638-1701).- Les demoiselles de Blois & de Nantes avec leur serviteur Africain File:Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française page 1.jpg|Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française File:The 1688 Germantown Quaker petition against slavery.jpg|1688 - [[w:Protestation de Germantown|Protestation de Germantown contre l'esclavage]], à la fondation de la Pennsylvanie File:Portrait de Marie-Jeanne Grellier avec son esclave.png|Marie-Jeanne Grellier avec son esclave File:Chanteloub, Portrait de Marie-Anne Grellier dans les bras de sa nourrice.png|Marie-Anne Grellier dans les bras de sa nourrice </gallery> </Center> === 1603 === '''[[w:1603|1603]]''' * 1603 - La lignée de Troyes de la [[w:Famille Colbert|famille Colbert]], lignée cadette et seule branche aujourd'hui subsistante, est anoblie en 1603 par l'achat d'une charge de Conseiller Secrétaire du Roi. === 1604 === [[w:1604|1604]] === 1605 === [[w:1605|1605]] === 1621 === [[w:1621|1621]] === 1637 === [[w:1637|1637]] Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences (Q64697860) === 1652 === [[w:1652|1652]] * 1652 - Jan van Riebeeck arrive à Table Bay en avril 1652. === 1663 === [[Fichier:Estat de l'illustre confrérie de Saint-George Franche-Comté de Bourgogne, 1663 page de titre.png|100 px|vignette|gauche|Confrérie de Saint-George, Franche-Comté, Bourgogne, 1663]] * 1663 - {{bibliographie|Q132530623}} <!-- Estat de l'illustre confrérie de Saint-George, autrement dicte de Rougemont, en la Franche Comté de Bourgongne --> === 1664 === [[Fichier:1664AmeriqueNord.jpg|100px|vignette|gauche|1664 - Géopolitique. Colonisations européennes au N-E des Amériques. Brun=Iroquois, Orange=Néerlandais Bleu=France, Rouge=Anglais, Violet=Français sous occupation anglaise]] [[w:1664|1664]] * 1664 - {{bibliographie|Q113006238}} <!-- Déclarations du Roy de France : l'une, portant établissement d'une Compagnie pour le commerce des Indes Orientales --> === 1665 === [[w:1665|1665]] * 1665 - [[w:Jean-Baptiste Colbert|Jean-Baptiste Colbert (1619-1683)]] devient Contrôleur général des finances jusqu'en 1683. === 1680 === [[w:1680|1680]] * [[w:1680|1680]]-[[w:1715|1715]] - En 1680, commence, d'après [[w:Paul Hazard|Paul Hazard]], une [[w:La Crise de la conscience européenne|Crise de la conscience européenne]] qui se poursuivra jusqu'à la fin du règne de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] * 1680 - François Le Gallois traduit "De bibliothecis liber singularis" du latin de Johannes Lomeier, ({{bibliographie|Q28822758}}) === 1684 === [[w:1684|1684]] * 1684 - François Bernier publie [[d:Q24025026|Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent]] dans [[d:Q24025038|Le Journal des sçavans]], {{bibliographie|Q24025038}}, {{BNF|343488023 }}, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56535g/f135.item p. 135]. === 1685 === [[Fichier:Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française page 1.jpg|100px|vignette|gauche|Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française, page 1]] [[Fichier:EdiktPotsdam.jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:1685|1685]] * Janvier 1685 - {{bibliographie|Q113005883}} <!-- 1685 - Déclaration du Roy, pour l'établissement d'une compagnie sous le titre de la Compagnie de Guinée --> * Mars 1685 : Promulgation à Versailles de l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|ordonnance ou édit du Roy sur les Esclaves des Isles de l'Amérique]] * 8 novembre 1685 : En réponse à la révocation de l’[[w:Edit de Nantes|édit de Nantes]] par l’[[w:Édit de Fontainebleau (1685)|édit de Fontainebleau]], Proclamation de l’[[w:Édit de Potsdam|édit de Potsdam]] du 29 octobre 1685 qui encourage les Huguenots opprimés à émigrer vers les territoires de [[w:Frédéric-Guillaume Ier de Brandebourg|Frédéric-Guillaume Ier]], électeur de [[w:Brandebourg|Brandebourg]] et duc de [[w:Prusse|Prusse]]. Les huguenots persécutés en France se voient accorder l'hospitalité en Brandebourg-Prusse et de nombreux avantages. == 1688 == [[Fichier:The 1688 Germantown Quaker petition against slavery.jpg|100px|vignette|gauche|The 1688 Germantown Quaker petition against slavery]] * 1688 - [[w:Protestation de Germantown|Protestation de Germantown contre l'esclavage]] == 1699 == * 1699 - {{bibliographie|Q118467962}} <!-- Relation d'un voyage fait en 1695, 1696 et 1697 aux côtes d'Afrique, détroit de Magellan, Brésil, Cayenne et isles Antilles --> == Chronologie {{S|XVIII}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>Emergence de la puissance britannique & finitude des mondes européens</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:Retrat de Carles III davant el port de Barcelona, Frans van Stampart.jpg|L'archiduc Charles de Habsbourg d'Autriche devant le port de Barcelone File:Philippe de France proclamé roi d'Espagne.jpg|Philippe de France proclamé [[w:Philippe V (roi d'Espagne)|Philippe V]], [[w:Liste des souverains d'Espagne|d'Espagne]] et des [[w:Indes occidentales espagnoles|Indes occidentales espagnoles]], [[w:1716|1716]]–[[w:1746|1746]] </gallery> </div> [[Fichier:Europe, 1700—1714.png|100 px|vignette|gauche|L'Europe vers 1700-1714]] [[c:File:Herman Moll - Map of Europe Europe According to the Most Exact Observations, Londres, 1708 600.png|Herman Moll.- Une cartographie de l'Europe en 1708-ca1720]] [[File:1706 De La Feuille Map of Europe - Geographicus - Europe-lafeuille-1706.jpg|100px|vignette|gauche|Jacob de La Feuille.- Cartographie de l'Europe, 1706]] [[Fichier:Herman Moll - To Her most Sacred Majesty Ann Queen of Great Britain, France & Ireland, London, 1708-ca1720 ).png|100px|vignette|gauche|Une cartographie de l'Europe entre 1708 et ca.1720]] [[Fichier:Western Europe Utrecht Treaty.jpg|100px|vignette|gauche|L'Europe des Traités d'Utrecht]] === Le monde européen dans le premier {{S|XVIII}} === D'[[w:Traités d'Utrecht (1713)|Utretch]] à Paris, trois traités redessinent les territoires politiques et commerciaux autour des nouvelles métropoles européennes : Les traités d'Utrecht en 1713, puis ceux de [[w:Traité de Paris (1763)|Paris en 1763]]. Dès 1713, au moment de la signature des [[w:Traités d'Utrecht (1713)|traités d'Utrecht]], le tout nouveau État souverain de [[w:Grande-Bretagne (royaume)|Grande-Bretagne]], constitué par l’[[w:Acte d'Union (1707)|Acte d'Union de 1707]] et composé des précédents [[w:Royaume d'Écosse|Royaume d'Écosse]] et [[w:Royaume d'Angleterre|Royaume d'Angleterre]], le [[w:pays de Galles|Pays de Galles]] étant inclus dans l'ancien Royaume d'Angleterre, signe, d'une part, le traité avec la France et, d'autre part, le traité avec l'Espagne. En apposant sa signature au bas des deux traités mettant fin aux [[w:guerre de Succession d'Espagne|conflits armés]] qui, de 1701 à 1714, avaient opposés plusieurs puissances européennes durant 13 longues années, le [[w:Grande-Bretagne (royaume)|royaume de Grande-Bretagne]] s'érige en puissance politique européenne, atlantique et américaine. ==== Le trône d'Espagne et son empire colonial : Les traités d'Utretch ==== [[Fichier:Vivien - Philip V of Spain - New Castle Schleißheim.jpg|100px|vignette|gauche|Le Duc d'Anjou, petit-fils de [[w:Louis XIV|Louis XIV]]]] File:Vivien - Philip V of Spain - New Castle Schleißheim.jpg|Le Duc d'Anjou, petit-fils de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] Le {{1er}} novembre 1700, [[w:Charles II d'Espagne|Charles II]] d'Espagne meurt sans descendance : la couronne de [[w:Royaume de France|France]], [[w:Maison capétienne de Bourbon|Bourbon]]), et celle d'[[w:Archiduché d'Autriche|Autriche]] ([[w:Habsbourg|Habsbourg]]) revendiquent alors le trône et la souveraineté sur les colonies liées à l'Espagne, ouvrant une guerre de Succession qui durera de 1701 à 1714. Le 11 avril 1713, les [[w:Traités d'Utrecht (1713)|traités d'Utrecht]] sont signé qui mettent fin à la Guerre de Succession d'Espagne. ==== Emergence de la puissance britannique ==== [[Fichier:Opening Utrecht 29 janvier 1712.png|100px|vignette|gauche|Ouverture du Congrès d'Utrecht le 20 janvier 1712]] * [[w:en:Treaty of Utrecht#Negotiations|29 janvier 1712]] - Ouverture du Congrès d'Utrecht qui aboutira aux traités éponymes == La finitude des mondes après les guerres de Succession d'Espagne == [[Fichier:L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté dans des cartes générales et particulières du ciel et de la terre, p. 11 (cropped).jpg|100px|vignette|gauche]] [[File:Treaty of Utrecht 1713.png|100px|vignette|gauche|Traité d'Utrecht, 1713<ref>L'idée de la paix conclue dans la ville d'Utrecht le 11 avril et 12 mai 1713</ref>]] [[Fichier:Antoine Rivalz, An Allegory, Probably of the Peace of Utrecht of 1713.png|100px|vignette|gauche|Antoine Rivalz.- Alégorie de la paix d'Utrecht, 1713]] [[Fichier:Utrecht Treaty.png|100px|vignette|gauche|Cessions territoriales et de souveraineté résultant des traités d'Utrecht, Stockholm et Passarowitz]] === 1705-1717 - Nicolas de Fer, L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté === * 1705-1717 - {{bibliographie|Q118726886}}<ref>Voir échange avec Yann : [[c:Special:PermanentLink/772747042#L'Atlas Curieux ou le Monde Represente ans des Cartes Generales et Particulières du Ciel et de la Terre|L'Atlas Curieux ou le Monde Representé ans des Cartes Générales et Particulières du Ciel et de la Terre]]</ref>. <!-- L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté dans des cartes générales et particulières du ciel et de la terre --> === 1712-1715 - Négociations européennes à Utrecht === En décembre 1712, des négociations européennes s'ouvrent à Utrecht, en Hollande, afin de mettre un terme aux guerres de succession d'Espagne. Les diplomates européens se réunissent en congrès, toujours à Utrecht, à partir du 29 janvier 1712. Les procédures de signatures des traités se poursuivront jusqu'au 15 novembre 1715 === 1712 === [[w:1712|1712]] * décembre 1712.- Ouverture des négociations européennes. === 1713 === [[w:1713|1713]] [[File:Partie du Canada ou nouvelle France et de la Nouvelle Angleterre, de l'Acadie aprés le traité de la paix d'Utrecht du 22 avril 1713.png|100 px|vignette|gauche|Canada (Nouvelle France, Nouvelle Angleterre, Acadie) après le traité de la paix d'Utrecht du 22 avril 1713]] [[Fichier:Terre-Neuve.png|100px|vignette|gauche|Terre-Neuve : Droits de pêche sur la côte française de Terre-Neuve de 1713 à 1904.]] * 1713-1715.- Les [[w:Traités d'Utrecht (1713)|Traités d'Utrecht (1713-1715). Deux [https://wikimonde.com/article/Traités_d%27Utrecht_%281713%29 traités de paix signés à Utrecht] mettent fin à la [[w:Guerre de Succession d'Espagne|guerre de Succession d'Espagne]]. Le premier est signé le 11 avril entre le royaume de France et le royaume de Grande-Bretagne, le second le 13 juillet, entre l'Espagne et la Grande-Bretagne. Outre ces deux premiers traités, s'ajoutent les traités [[w:Traité de Rastatt|de Rastatt (6 mars 1714)]], de [[w:Traité de Baden|Baden (7 septembre 1714)]] et d'Anvers (15 novembre 1715) qu'on regroupe sous le nom de Traités d'Utrecht. Le traité est le premier rédigé en français. Il inaugure la primauté du français comme langue diplomatique jusqu'au traité de Versailles, en 1919. Ces traités marquent le début de la puissance maritime et commerciale de la Grande-Bretagne qui, dès lors, va étendre ses colonies sur toute la Planète. ** Bibliographie<br />{{bibliographie|Q17362972}}<br />{{Bibliographie|Q28074756}} * [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/memoire_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=ARN01_20083501148 Vue d'une carte de Terre Neuve du traité d'Utrecht (1713)] (fouille M. L'Hour/Drassm, E. Veyrat/Drassm). === 1714 === [[w:1714|1714]] [[Fichier:Pontiac chief.png|100px|vignette|gauche|Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]], (c.1714 † 20 avril 1769), par John Mix Stanley (1814–1872)]] * 1714 (circa) † 20 avril 1769.- Naissance de Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]] dans la Nation [[w:Amérindiens au Canada|Nation amérindienne des Outaouais, Canada]] qui se nomme plus volontiers [[w:Anishinaabe|Nishnaabe ou Anishinaabe]], ou ''peuple des origines''. === 1715 === [[w:1715|1715]] * 13 août 1715 - Signature du [[w:Traité de commerce et d'amitié entre la France et la Perse|traité de commerce et d'amitié entre la France et la Perse]] à Versailles * 1715 - [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/memoire_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=ARN01_20083501148 Plan géométral de l'Isle de Terre-Neuve après le Traité de paix d'Utrecht (1712-1715)]. [[w:Terre-Neuve|Terre-Neuve]] est un lieu de [[w:Morue#Pêche|pèche à la morue]] depuis un millénaire environ. Les Vikings qui y débarquent vers l'an 1000 laissent une première trace américaine dans l’histoire européenne. Une colonie britannique s'établie sur ces côtes du nord du continent américain vers 1497, cinq ans après le premier voyage de Christophe Colomb. Dès lors, l'histoire coloniale de la région suivra des voies originales tout comme la protection de son écosystème marin. [[w:Saint-Pierre-et-Miquelon|Saint-Pierre-et-Miquelon]] est le vestige de la présence française dans les eaux et sur le territoire insulaire du grand nord américain. === 1719 === [[w:1719|1719]] [[Fichier:Swedish Empire (1560-1815) fr.svg|100px|vignette|gauche|Expansion et déclin territorial de l''empire suédois' de 1580 à 1815.]] 1719-1720 - Deux traités sont négociés à Stockholm, par le roi [[w:Frédéric Ier de Suède|Frédéric I{{er}}]] pour mettre fin à la "[[w:grande guerre du Nord|Grande guerre du Nord]]". Le premier traités de Stockholm est signé entre la [[w:Suède|Suède]] et l'[[w:électorat de Brunswick-Lunebourg|Electorat de Hanovre]]. Le second entre la Suède et le [[w:royaume de Prusse|Royaume de Prusse]]. Ces deux traités qui suivent les traités d'Utretch montrent comment l'espace européen (Eurasie ?) se transforme tant du point de vue de la répartition territoriale des formes de gouvernement que de la puissance économique, sous l'effet de la première mondialisation. === 1719 === [[w:1719|1719]] 1719 - Premier traités de Stockholm, conclu le {{date|20|novembre|1719}} (9 novembre du calendrier julien), entre le [[w:Histoire de la Suède|Royaume de Suède]] et l'[[w:électorat de Brunswick-Lunebourg|Electorat de Hanovre]] fait perdre à la Suède le contrôle du [[w:Brême-et-Verden|Brême-et-Verden]]<ref>Voir second traité de 1720</ref>. === 1720 === [[w:1720|1720]] 1{{er}} février 1720 - Le second traité de Stockholm, conclu le {{date|1|février|1720}} (21 janvier du calendrier julien), entre l'[[w:Empire suédois|Empire suédois]], (1611-1718)<ref>L'[[w:Empire suédois|Empire suédois]] (du suédois : ''stormaktstiden'', « le temps de la grande puissance ») est, dans l'historiographie moderne, la période historique entre 1611 et 1718 où la [[w:Suède|Suède]] est l'une des [[Grande puissance|grandes puissances]] de l'Europe. Empire suédois est précédée par la période Vasa, (1521-1611), et suivie par l'[[w:Ère de la Liberté|Ère de la Liberté]], (1719-1772).</ref>, et le [[w:royaume de Prusse]]. la Suède y perd une partie de la [[w:Poméranie suédoise|Poméranie suédoise]] (au sud de la [[w:Peene|Peene]]) et l'Ouest du [[w:Peenestrom|Peenestrom]], les îles d'[[w:Usedom|Usedom]] et de [[w:Wolin (île)|Wolin]], ainsi que les villes de [[w:Szczecin|Stettin]], Damm et [[w:Goleniów|Goleniów]]. === 1733 === [[w:1733|1733]] * 1733 - [[w:Sugar and Molasses Act|Sugar and Molasses Act]], loi britannique sur les sucres et mélasses qui impose une taxe de six cents par gallon de mélasse entrant aux treize colonies américaines. Les Traités d'Utrecht (1713) avaient fait de l'Angleterre la première puissance maritime. Mais, la puissance du Royaume-Uni est rapidement concurrencée par la croissance de l’économie coloniale de la France. L'Angleterre met en place une politique protectionniste en établissant des taxes. === 1734 === [[w:1734|1734]] * 6 juillet 1734 - Ordonnance du Roy qui règle la forme des certificats de la traite des nègres aux Iles françaises d'Amérique [[Fichier:Ordonnance du Roy du 6 juillet 1734 qui règle la forme des certificats de la traite des nègres iles frses Amérique.png|100px|vignette|gauche|source : {{BNF|34569179r}}-Gallica]] === 1738 === [[w:1738|1738]] * 4 juin [[w:1738|1738]] - Naissance de George William Frederick, futur [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III (roi du Royaume-Uni)]], à [[w:en:Norfolk House|Norfolk House]], à [[w:Londres|Londres]]. Son règne (1760-1820) sera ponctué par les guerres entre les puissances européennes, les guerres coloniales, l'[[w:en:George III of the United Kingdom#American War of Independence|indépendance des États-Unis d'Amérique]], la [[w:en:French Revolution|Révolution française]], les [[w:en:Napoleonic Wars|guerres napoléoniennes]] (1803-1815) et les conflits autour de l’empire colonial espagnol. En 1811, [[w:en:George IV of the United Kingdom|George, Prince de Galles]], devient régent puis succède à son père en 1820. * 1738.- La bulle pontificale [[w:In eminenti apostolatus specula|In eminenti apostolatus specula]] de 1738 condamne la [[w:franc-maçonnerie |franc-maçonnerie]] et excommunie ses membres (position rappelée, au nom de Jean-Paul II, par le cardinal Ratzinger en 1983). === 1740 === [[w:1740|1740]] 1740-1748 - Guerres de Succession d'Autriche À la mort de Karl von Habsburg [[w:Charles VI (empereur des Romains)|Archiduc d'Autriche, roi de Hongrie sous le nom de Charles III de Habsbourg]]<ref>Empereur des Romains sous le nom de Charles VI.</ref>, les guerres de succession d'Autriche (1740-1748) opposent sa fille [[w:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)#Héritière des États des Habsbourg|Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)]], héritière des États des Habsbourg en vertu de la [[w:Pragmatique Sanction (Autriche)|Pragmatique Sanction]], soutenue par la Grande-Bretagne et les Provinces-Unies, à l'électeur Charles-Albert de Bavière, élu empereur (Charles VII), soutenu par l'Espagne, la France, la Prusse et la Saxe. En 1748, le [[w:Traité d'Aix-la-Chapelle (1748)|traité d'Aix-la-Chapelle]] met fin aux Guerres de Succession d'Autriche <Center> <gallery> File:Charles VI in hunting dress - Kunsthistorisches Museum.jpg|[[w:Charles VI (empereur des Romains)|Charles III Archiduc d'Autriche]], † Vienne, 20 octobre 1740. File:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780), héritière des États des Habsbourg.png|[[w:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)#Héritière des États des Habsbourg|Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)]], héritière des États des Habsbourg en vertu de la [[w:Pragmatique Sanction (Autriche)|Pragmatique Sanction]] </gallery> </Center> === 1741 === [[Fichier:N6700100 JPEG 1 1DM.jpg|100px|vignette|gauche|Carte des côtes méridionales de l'isle de Terre Neuve]] [[w:1741|1741]] * 1741.- Cartographie {{bibliographie|Q28082556}} === 1746 === [[w:1746|1746]] === 1748 === [[Fichier:France - Traité de paix conclu à Aix-la-Chapelle le 18 octobre 1748.jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:1748|1748]] * 1748 - Le [[w:Traité d'Aix-la-Chapelle (1748)|traité d'Aix-la-Chapelle]] met fin aux Guerres de Succession d'Autriche<ref>* 1758 - {{bibliographie|Q28869832}}</ref> === 1750 === [[w:1750|1750]] * 1750 - {{bibliographie|Q28843729}} === 1751 === [[w:1751|1751]] * 1751.- La bulle pontificale [[w:Providas romanorum|Providas romanorum]] de 1751 prononce une nouvelle condamnation de la Franc-maçonnerie, après In eminenti apostolatus specula (1738). === 1756 === [[w:1756|1756]] * 1756-1763 - Guerre de Sept Ans * 1756 - Début de la guerre de Sept Ans (1756-1763), conflit majeur qui oppose les puissances européennes sur le continent Européen, sur terre, sur mer et dans les colonies. Ce conflit qui implique les colonies d'Outre-mer peut être qualifié de "guerre mondiale". === 1757 === [[w:1757|1757]] * 1757- Parution de {{bibliographie|Q28768643}} === 1759 === [[w:1759|1759]] * 1759-1809 - Bataille de la Martinique ** 1759.- [[w:Invasion de la Martinique (1759)|Invasion de la Martinique]] par les forces britanniques, début des [[w:Bataille de la Martinique|rivalités armées]]<ref>Wikipédia répertorie sous le titre "[[w:Bataille de la Martinique|Bataille de la Martinique]]" la rivalité entre les armées du [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]] et de la [[w:France|France]] entre 1759 et 1809, pour la possession de l’Ile de la [[w:Martinique|Martinique]].</ref> entre le [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]] et la [[w:France|France]] pour la possession de l’Ile de la [[w:Martinique|Martinique]] qui dureront jusqu'en 1809.<br />Des affrontements se sont déroulés sur terre ou au large de l'île depuis l’[[w:Invasion de la Martinique (1759)|invasion]] de [[w:1759|1759]] jusqu'à la [[w:prise de la Martinique (1794)|conquête]] de la colonie en [[w:1794|1794]].<br />Malgré les efforts de la Première République, 21 septembre 1792 - 9 novembre 1799 ([[w:Convention nationale|Convention nationale]], 21 septembre 1792 - 26 octobre 1795 ; [[w:Directoire|Directoire]], 26 octobre 1795 - 9 novembre 1799 ; [[w:Consulat (histoire de France)|Consulat]], 9 novembre 1799 - 18 mai 1804) ; puis du [[w:Premier Empire|premier empire]], 18 mai 1804 - 14 avril 1814, [http://www.napoleon.org/fr/salle_lecture/articles/files/Napoleon_Angleterre_2_marine.asp#ancre7 sous Napoléon], la Martinique ne sera pleinement reconnue colonie française qu'au [[w:Congrès de Vienne|Congrès de Vienne]] en [[w:1815|1815]]. *1759 - Invasion de la Guadeloupe ** 1759.- [[w:Invasion de la Guadeloupe (1759)|Invasion de la Guadeloupe]] === 1761 === [[Fichier:Géolocalisation de l'Ile Tromelin OSM (6080162).png|100px|vignette|gauche|Géolocalisation de l'Ile Tromelin]] [[w:1761|1761]] 1761 - Naufrage de L'Utile : les esclaves oubliés de Tromelin === 1763 === [[Fichier:Pontiac in 1763.jpg|100px|vignette|gauche|Pontiac en 1763]] [[w:1763|1763]] * 1763.- Après le traité de Paris, Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]] rassemble les Nations Amérindiennes de la région des Grands Lacs contre l'occupation Britannique<ref>Fascicule de vulgarisation sur le traité de Paris, 1763 : {{bibliographie|Q29018702}} 2014</ref> === 1789 === [[w:1789|1789]] * c.1789-1790 - Naissance de [[w:Saartjie Baartman|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman (''Saartjie Baartman'')]]. Surnommée la "''Vénus hottentote''", elle serait née aux abords de la [[w:Gamtoos|Gamtoos River]] ([[w:Cap-Oriental|Cap-Oriental]]) aux alentours de [[w:1789|1789]] dans l'actuelle [[w:Afrique du Sud|Afrique du Sud]] au sein du peuple [[w:Khoïkhoï|Khoïkhoï]] ([[w:Khoïsan|Khoïsan]]), le plus ancien de la région sud de l'[[w:Afrique|Afrique]]. Elle mourra à [[w:Paris|Paris]] le {{date|29|décembre|1815}} 29 décembre 1815. == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Chronologie 1763-1848/]] }} 5gyhzarar1o059donovkll3qlzw23kx 986954 986953 2026-10-02T17:14:49Z Ambre Troizat 8860 /* 1637 */ 1637 - René Descartes, Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences 986954 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Annexe | idfaculté = histoire | numéro = 1 | niveau = 9 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Chronologie 1763-1848/]] }} __TOC__ {{Clr}} == 1492 - 1499 == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>1492 - Le ravissement des mondes</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:La Rendición de Granada - Pradilla.jpg|Francisco Pradilla y Ortiz (1848–1921).- Reddition de Grenade, 2 janvier 1492, 1882 File:Monumento a Colón (Madrid) 02b.jpg|17 avril 1492 - Les monarques d’Espagne, acceptent de financer l’expédition de Christophe Colomb File:Columbus Taking Possession.jpg|Christophe Colomb arrive dans l'espace des Caraïbes<ref>Représentation de l’arrivée de Christophe Colomb dans l'espace des Caraïbes, L. Prang & Co., Boston, 1893</ref> File:Randolph Rogers - USCapitolDoors 1855–1861, Columbus's First Encounter with the Indians, 1492.png|100px|vignette|gauche|1492 - Rencontre de Christophe Colomb avec les Améridiens </gallery> </div> </Center> === 1492 === [[w:1492|1492]] <Center> 1492 - l’"[[w:oc:Annada Cruciala|Año crucial]]", ''[[w:Année cruciale|Année cruciale]]'', dans l’historiographie espagnole </Center> ==== 1492 - reddition de Grenade ==== * 2 janvier 1492 - [[wikt:reddition|Reddition]] de [[w:Prise de Grenade|Grenade]] & fin des [[w:Guerres de Grenade|Guerres de Grenade]]. [[w:Isabelle Ire de Castille|Isabelle I{{re}} de Castille]] (°[[w:1451|1451]] - †[[w:1504|1504]]), reine de [[w:Royaume de Castille|Castille]] et de [[w:Royaume de León|León]] ([[w:1474|1474]]-[[w:1504|1504]]), dite ''Isabelle la Catholique'', épouse de [[w:Ferdinand II d'Aragon|Ferdinand II d'Aragon, 1452-1516]], [[w:Ferdinand le Catholique|dit ''le Catholique'']], roi d’[[w:Royaume d'Aragon|Aragon]], deviennent souverains dans la péninsule ibérique, à l'exclusion du Portugal. "Rois catholiques", ils vont mener une [[w:Ferdinand le Catholique#Une politique expansionniste|politique expansionniste]] en Europe, en Méditerranée, en Afrique et, bientôt, au Nouveau Monde. * 17 avril 1492 - Les monarques d’Espagne, acceptent de financer l’expédition de Christophe Colomb * 30 avril 1492 : Lettres patentes accordées à Christophe Colomb<ref>[http://gallicalabs.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5667335h/f247.image Alphonse Gourd.-Les chartes coloniales et les constitutions des États-Unis de l'Amérique du Nord, p. 194].<br /> [http://mjp.univ-perp.fr/traites/1492colomb.htm Université de Perpignan.- Le Nouveau Monde]</ref>. === 1494 === [[File:Giovanni Bilivert.- Isabelle d'Aragon implorant Charles VIII, Naples, 1494.png|vignette|100px|left|Isabelle d'Aragon implorant [[w:Charles VIII (roi de France)|Charles VIII roi de France]], Naples, 1494]] ;'''[[w:1494|1494]]''' ==== 7 juin 1494 - Le traité de Tordesillas ==== [[Fichier:Treaty of Tordesillas.jpg|vignette|100px|left|Le traité de Tordesillas, Bibliothèque National de Lisbonne, 7 juin 1494]] * 7 juin 1494 : L'Espagne et le Portugal établissent le [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]]. * 2 juillet 1494 : La version espagnole du [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]] est ratifiée à Arévalo par le roi Ferdinand II d'Aragon et la reine Isabelle I{{re}} de Castille. * 5 septembre 1494 : La version portugaise du [[w:traité de Tordesillas|traité de Tordesillas]] est ratifiée à Setúbal par le roi Jean II de Portugal. ==== 2 septembre 1494 - Début des guerres d'Itale ==== * 2 septembre 1494 : Charles VIII, roi de France de 1483 à 1498, franchit franchit le [[w:Col de Montgenèvre|col de Montgenèvre]] et entre en Italie. Ainsi commence la première des [[w:Guerres d'Italie|Guerres d'Italie]]. === 1497 === [[w:1497|1497]] * 8 juillet 1497 : Sur commande de [[w:Manuel Ier (roi de Portugal)|Manuel Ier, roi de Portugal]], Vasco de Gama quitte le Tage pour contourner les côtes de l'Afrique et atteindre l'Asie orientale. == Chronologie {{S|XVI}} == <Center> <br /> <br /> <span style="font-size:20px;">'''<strong>{{S|XVI}} - Brevísima relación de la destrucción de las Indias</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:Gama armada in India, 1502.gif|1502, Vasco de Gama arrive aux Indes File:Atahualpa Inca XIV.png|1502, Naissance de Atahualpa Inca XIV du Pérou, (c. 1502 – August 26, 1533 Quito, Ecuador) File:Wpdms verrazano voyage map 2.jpg|Voyage de Giovanni da Verrazzano aux Amériques en 1523-1528 File:Atawallpap umanta kuchunku.gif|Assassinat de Atahualpa, Inca XIV & dernier du Pérou, (c. 1502 – August 26, 1533 Quito, Ecuador)] File:Cartier First Voyage Map 1 fr.png|1534, 1{{er}} Voyage de Jacques Cartier.]] </gallery> </div> </Center> === 1502 === [[w:1502|1502]] * c. 1502 - Naissance de Atahualpa, futur Inca XIV du [[w:Pérou#Conquête et vice-royauté|Pérou]]. Il sera assassiné en 1533 à [[w:Quito|Quito]], actuelle [[capitale]] de l'[[w:Équateur (pays)|Équateur]] et de la [[w:Pichincha (province)|province de Pichincha]]. === 1507 === [[w:1507|1507]] <Center> [[Fichier:Waldseemuller map 2.jpg|200px|vignette|centré|Planisphère de Martin Waldseemüller, Universalis Cosmographia, 1507]] </Center> [[Fichier:Cosmographiae Introductio-Saint-Dié.jpg|100px|vignette|gauche|Petit traité de géographie accompagnant la carte du monde Universalis Cosmographia. Conservé à la Médiathèque Victor-Hugo, salle du Trésor, [[w:Saint-Dié-des-Vosges|Saint-Dié-des-Vosges]].]] * 1507 - Le 25 avril 1507 [[w:Martin Waldseemüller|Martin Waldseemüller]] publie Cosmographiæ Introductio, ou, en français : "''Introduction à la cosmographie avec quelques éléments de géométrie et d'astronomie nécessaires à l'intelligence de cette science, ainsi que les quatre voyages d'Amerigo Vespucci et la reproduction du monde entier tant en projection sphérique qu'en surface plane, y compris les régions que Ptolémée ignorait et qui n'ont été découvertes que récemment». L'ouvrage comprend the [[c:Fichier:Waldseemuller map 2.jpg|Waldseemüller map from 1507]], the first map to include the name "America" and the first to depict the Americas as separate from Asia. There is only one surviving copy of the map, which was purchased by the [[w:Library of Congress|Library of Congress]]<ref>[https://www.loc.gov/resource/g3200.ct000725C/ Library of Congress]</ref> in 2001 for $10 million.<br /> Ci-contre : Un des exemplaires de la [[c:Fichier:Cosmographiae Introductio-Saint-Dié.jpg|troisième édition de Cosmographiae Introductio imprimée à Saint-Dié en 1507]]. Petit traité de géographie qui accompagnait la carte du monde Universalis Cosmographia. Conservé dans la salle du Trésor de la Médiathèque Victor-Hugo de Saint-Dié-des-Vosges. === 1523 === [[w:1523|1523]] * 1523 - [[w:François Ier (roi de France)|François Ier de France]] commence à encourager les explorations au nord des [[w:Amérique|Amériques]]. Il prend à son servie [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]], né aux environs de 1485 et mort en 1528. * 1523 - Giovanni da Verrazzano appareille de Dieppe en juin 1523 à bord de La Dauphine mise à disposition par le Royaume de France. === 1524 === [[w:1524|1524]] * 1524 - Ayant atteint Madère, [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]] entreprends la traversée de l'Atlantique le 17 janvier 1524. Verrazano atteint l’Amérique du Nord, cartographie [[w:Terre-Neuve#XVe siècle|Terre-Neuve]], puis fonde la Nouvelle-Angoulême, future Nouvelle-Amsterdam puis New York, en hommage à la famille du roi de France. Son objectif est de trouver un passage vers le nord-ouest menant directement aux Indes<ref>Voir le deuxième voyage de Giovanni da Verrazzano en 1528.</ref>. === 1525 === [[Fichier:Charles V visits François Ier after the Battle of Pavia.jpg|100px|vignette|gauche|1525 - [[w:Charles Quint|Charles Quint]] visite François I{{er}} après la [[w:Bataille de Pavie (1525)|Battaille de Pavie de 1525]].]] [[w:1525|1525]] * 1525 - [[w:François Ier de France|François I{{er}}]] est capturé à la bataille de Pavie au cours de la [[w:Septième guerre d'Italie|septième guerre d'Italie]].[[w:Charles Quint|Charles Quint]] d'Espagne vient lui rendre visite dans la prison à Madrid. Par [[w:Traité de Madrid (1526)|traité de Madrid]] du 14 janvier 1526, il renoncera à ses prétentions en [[w:Italie|Italie]], cèdera la [[w:Bourgogne|Bourgogne]] à l'[[w:Espagne|Espagne]] et abdiquera sa souveraineté sur les [[w:Flandre française|Flandres]] et l'[[w:Artois|Artois]]. Il obtiendra sa libération et toutes les conssessions ne seront pas appliquées contre la détention de ses deux fils.<br />{{Bibliographie|Q28472796}}, 1645, contenant le ''[https://books.google.fr/books?id=stpCAQAAMAAJ&hl=fr&pg=PA3#v=onepage&q&f=false Traité de paix fait en la ville de Madrid, l'an M. D. XXVI : entre Charles V, Empereur, et François I. Roy de France].<br />{{Bibliographie|Q19230568}}, 1858. === 1528 === [[w:1528|1528]] * Deuxième voyage de [[w:Giovanni da Verrazzano|Giovanni da Verrazzano]]. Sa mort surviendra la même année, probablement en [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]]<ref>Michel Mollat, ''Giovanni et Girolamo Varrazano, navigateurs de François I{{er}}'' Paris, 1982, {{p.}}122.</ref> === 1530 === [[Fichier:Siege of Florence.JPG|100px|vignette|gauche|Giorgio Vasari (1511–1574).- Siege of Florence en 1530]] [[w:1530|1530]] === 1533 === [[w:1533|1533]] * 1533 - Le 26 août 1533, à [[w:Quito|Quito]], actuel [[w:Équateur|Équateur]], le pouvoir colonial espagnol assassine [[w:Atahualpa|Atahualpa]], dès lors, dernier souverain de l'[[w:Empire inca|empire pré-colombien Inca]]. === 1534 === [[File:Postcard of butter sculpture tableau of the meeting of Jacques Cartier and Donnacona, Franco-British Exhibition,London, 1908.jpg|100px|vignette|gauche|1534, Cartier rencontre Danacona]] [[w:1534|1534]] * 1534 - [[w:François Ier (roi de France)|François Ier de France]] confie à [[w:Jacques Cartier|Jacques Cartier]] la mission de découvrir « certaines îles et pays où l’on dit qu’il se doit trouver grande quantité d’or et autres riches choses ». * 1534 - Premier voyage de [[w:Jacques Cartier|Jacques Cartier]]. Après vingt jours de traversée du 20 avril au 10 mai, l'expédition parti de Saint-Malo traverse l’Atlantique nord, atteint [[w:Terre-Neuve|Terre-Neuve]] et l’embouchure du Saint-Laurent, remonte le fleuve et fonde le poste de Sainte-Croix (future Québec), atteint le village de Hochelaga, renommé Mont-Royal (future Montréal). La Nouvelle-France est fondée. === 1535 === [[File:Cartier Second Voyage Map 1 fr.png|100px|vignette|gauche|1535-36, 2{{e}} voyage de Jacques Cartier.]] [[w:1535|1535]] * 1535 - Deuxième voyage de Jacques Cartier (1535-1536) === 1536 === [[w:15356|1536]] * 1536 - [[w:Donnacona (chef indien)|Donnacona]] était le chef du village iroquoien Stadaconé jusqu'en mai 1536, lorsqu’il fut capturé & emmené en France par Jacques Cartier. === 1539 === [[Fichier:François 1er - Ordonnance de Villers-Cotterêts, Acte royal, 10 -25 août 1539.djvu|100px|vignette|gauche|François 1er - Ordonnance de Villers-Cotterêts, Acte royal, 10 -25 août 1539, {{BNF|338105253}}.]] [[w:1539|1539]] ==== Ordonnance du roy François premier sur le faict de la justice & abréviation des procez, faicte en l'an 1539 ==== * 1539 - François Ier, roi de France, 1494-1547.- Ordonnance du roy François premier sur le faict de la justice & abréviation des procez, faicte en l'an 1539, Acte royal, août 1539, [[w:Villers-Cotterets|Villers-Cotterets]], {{BNF|33849891h}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9747089j lire en ligne] * 1786 - [[d:|André-Jean Boucher d’Argis]]<ref>Cf. [[c:File:Information des Journées du 5 et 6 octobre 1789. La voilà donc enfin ce secret plain d'horreur (BM 1868,0822.7125).jpg|Information des Journées du 5 et 6 octobre 1789. La voilà donc enfin ce secret plain d'horreur !]]. Satire on the march to Versailles: a man seated at a table blowing bubbles, each of which is labelled 'Déposition' with a Roman number, while two other applaud. October 1789. De Vinck identifies the persons as Boucher d'Argis, who demanded the prosecution of those involved on the march to Versailles, and abbé Grégoire and Pétion. The investigations at the police headquarters at the Châtelet led nowhere.</ref> [[w: Livre:Boucher d’Argis - Ordonnance du mois d’aoust 1539, 1786.djvu|Ordonnance du mois d’aoust 1539, 1786]] * 2010 - {{bibliographie|Q117303780}} <!-- L’ordonnance de 1539 et l’unification du royaume de France --> * 1539 - Mort de [[w:Donnacona (chef indien)|Donnacona]], chef du village iroquoien Stadaconé jusqu'en mai 1536, capturé & emmené en France par Jacques Cartier. === 1558 === [[w:1558|1558]] == Chronologie {{S|XVII}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>{{S|XVII}}</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:The First Thanksgiving Jean Louis Gerome Ferris.png|[[w:Jean Leon Gerome Ferris|J.- L. G. Ferris]].- 1621, Le premier "Thanksgiving", Library of Congress, c.1912-1915 File:Charles Bell - Jan van Riebeeck se aankoms aan die Kaap.jpg|Jan van Riebeeck arrive à Table Bay en avril 1652]] File:The sisters Mademoiselle de Blois and Mademoiselle de Nantes by Philippe Vignon.jpg|Philippe Vignon (1638-1701).- Les demoiselles de Blois & de Nantes avec leur serviteur Africain File:Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française page 1.jpg|Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française File:The 1688 Germantown Quaker petition against slavery.jpg|1688 - [[w:Protestation de Germantown|Protestation de Germantown contre l'esclavage]], à la fondation de la Pennsylvanie File:Portrait de Marie-Jeanne Grellier avec son esclave.png|Marie-Jeanne Grellier avec son esclave File:Chanteloub, Portrait de Marie-Anne Grellier dans les bras de sa nourrice.png|Marie-Anne Grellier dans les bras de sa nourrice </gallery> </Center> === 1603 === '''[[w:1603|1603]]''' * 1603 - La lignée de Troyes de la [[w:Famille Colbert|famille Colbert]], lignée cadette et seule branche aujourd'hui subsistante, est anoblie en 1603 par l'achat d'une charge de Conseiller Secrétaire du Roi. === 1604 === [[w:1604|1604]] === 1605 === [[w:1605|1605]] === 1621 === [[w:1621|1621]] === 1637 === [[w:1637|1637]] * 1637 - {{bibliographie|Q64697860}} <!-- Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences --> === 1652 === [[w:1652|1652]] * 1652 - Jan van Riebeeck arrive à Table Bay en avril 1652. === 1663 === [[Fichier:Estat de l'illustre confrérie de Saint-George Franche-Comté de Bourgogne, 1663 page de titre.png|100 px|vignette|gauche|Confrérie de Saint-George, Franche-Comté, Bourgogne, 1663]] * 1663 - {{bibliographie|Q132530623}} <!-- Estat de l'illustre confrérie de Saint-George, autrement dicte de Rougemont, en la Franche Comté de Bourgongne --> === 1664 === [[Fichier:1664AmeriqueNord.jpg|100px|vignette|gauche|1664 - Géopolitique. Colonisations européennes au N-E des Amériques. Brun=Iroquois, Orange=Néerlandais Bleu=France, Rouge=Anglais, Violet=Français sous occupation anglaise]] [[w:1664|1664]] * 1664 - {{bibliographie|Q113006238}} <!-- Déclarations du Roy de France : l'une, portant établissement d'une Compagnie pour le commerce des Indes Orientales --> === 1665 === [[w:1665|1665]] * 1665 - [[w:Jean-Baptiste Colbert|Jean-Baptiste Colbert (1619-1683)]] devient Contrôleur général des finances jusqu'en 1683. === 1680 === [[w:1680|1680]] * [[w:1680|1680]]-[[w:1715|1715]] - En 1680, commence, d'après [[w:Paul Hazard|Paul Hazard]], une [[w:La Crise de la conscience européenne|Crise de la conscience européenne]] qui se poursuivra jusqu'à la fin du règne de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] * 1680 - François Le Gallois traduit "De bibliothecis liber singularis" du latin de Johannes Lomeier, ({{bibliographie|Q28822758}}) === 1684 === [[w:1684|1684]] * 1684 - François Bernier publie [[d:Q24025026|Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent]] dans [[d:Q24025038|Le Journal des sçavans]], {{bibliographie|Q24025038}}, {{BNF|343488023 }}, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56535g/f135.item p. 135]. === 1685 === [[Fichier:Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française page 1.jpg|100px|vignette|gauche|Manuscrit Ordonnance mars 1685 sur esclaves îles de l'Amérique française, page 1]] [[Fichier:EdiktPotsdam.jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:1685|1685]] * Janvier 1685 - {{bibliographie|Q113005883}} <!-- 1685 - Déclaration du Roy, pour l'établissement d'une compagnie sous le titre de la Compagnie de Guinée --> * Mars 1685 : Promulgation à Versailles de l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|ordonnance ou édit du Roy sur les Esclaves des Isles de l'Amérique]] * 8 novembre 1685 : En réponse à la révocation de l’[[w:Edit de Nantes|édit de Nantes]] par l’[[w:Édit de Fontainebleau (1685)|édit de Fontainebleau]], Proclamation de l’[[w:Édit de Potsdam|édit de Potsdam]] du 29 octobre 1685 qui encourage les Huguenots opprimés à émigrer vers les territoires de [[w:Frédéric-Guillaume Ier de Brandebourg|Frédéric-Guillaume Ier]], électeur de [[w:Brandebourg|Brandebourg]] et duc de [[w:Prusse|Prusse]]. Les huguenots persécutés en France se voient accorder l'hospitalité en Brandebourg-Prusse et de nombreux avantages. == 1688 == [[Fichier:The 1688 Germantown Quaker petition against slavery.jpg|100px|vignette|gauche|The 1688 Germantown Quaker petition against slavery]] * 1688 - [[w:Protestation de Germantown|Protestation de Germantown contre l'esclavage]] == 1699 == * 1699 - {{bibliographie|Q118467962}} <!-- Relation d'un voyage fait en 1695, 1696 et 1697 aux côtes d'Afrique, détroit de Magellan, Brésil, Cayenne et isles Antilles --> == Chronologie {{S|XVIII}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>Emergence de la puissance britannique & finitude des mondes européens</strong>'''</span> <br /> <gallery> File:Retrat de Carles III davant el port de Barcelona, Frans van Stampart.jpg|L'archiduc Charles de Habsbourg d'Autriche devant le port de Barcelone File:Philippe de France proclamé roi d'Espagne.jpg|Philippe de France proclamé [[w:Philippe V (roi d'Espagne)|Philippe V]], [[w:Liste des souverains d'Espagne|d'Espagne]] et des [[w:Indes occidentales espagnoles|Indes occidentales espagnoles]], [[w:1716|1716]]–[[w:1746|1746]] </gallery> </div> [[Fichier:Europe, 1700—1714.png|100 px|vignette|gauche|L'Europe vers 1700-1714]] [[c:File:Herman Moll - Map of Europe Europe According to the Most Exact Observations, Londres, 1708 600.png|Herman Moll.- Une cartographie de l'Europe en 1708-ca1720]] [[File:1706 De La Feuille Map of Europe - Geographicus - Europe-lafeuille-1706.jpg|100px|vignette|gauche|Jacob de La Feuille.- Cartographie de l'Europe, 1706]] [[Fichier:Herman Moll - To Her most Sacred Majesty Ann Queen of Great Britain, France & Ireland, London, 1708-ca1720 ).png|100px|vignette|gauche|Une cartographie de l'Europe entre 1708 et ca.1720]] [[Fichier:Western Europe Utrecht Treaty.jpg|100px|vignette|gauche|L'Europe des Traités d'Utrecht]] === Le monde européen dans le premier {{S|XVIII}} === D'[[w:Traités d'Utrecht (1713)|Utretch]] à Paris, trois traités redessinent les territoires politiques et commerciaux autour des nouvelles métropoles européennes : Les traités d'Utrecht en 1713, puis ceux de [[w:Traité de Paris (1763)|Paris en 1763]]. Dès 1713, au moment de la signature des [[w:Traités d'Utrecht (1713)|traités d'Utrecht]], le tout nouveau État souverain de [[w:Grande-Bretagne (royaume)|Grande-Bretagne]], constitué par l’[[w:Acte d'Union (1707)|Acte d'Union de 1707]] et composé des précédents [[w:Royaume d'Écosse|Royaume d'Écosse]] et [[w:Royaume d'Angleterre|Royaume d'Angleterre]], le [[w:pays de Galles|Pays de Galles]] étant inclus dans l'ancien Royaume d'Angleterre, signe, d'une part, le traité avec la France et, d'autre part, le traité avec l'Espagne. En apposant sa signature au bas des deux traités mettant fin aux [[w:guerre de Succession d'Espagne|conflits armés]] qui, de 1701 à 1714, avaient opposés plusieurs puissances européennes durant 13 longues années, le [[w:Grande-Bretagne (royaume)|royaume de Grande-Bretagne]] s'érige en puissance politique européenne, atlantique et américaine. ==== Le trône d'Espagne et son empire colonial : Les traités d'Utretch ==== [[Fichier:Vivien - Philip V of Spain - New Castle Schleißheim.jpg|100px|vignette|gauche|Le Duc d'Anjou, petit-fils de [[w:Louis XIV|Louis XIV]]]] File:Vivien - Philip V of Spain - New Castle Schleißheim.jpg|Le Duc d'Anjou, petit-fils de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] Le {{1er}} novembre 1700, [[w:Charles II d'Espagne|Charles II]] d'Espagne meurt sans descendance : la couronne de [[w:Royaume de France|France]], [[w:Maison capétienne de Bourbon|Bourbon]]), et celle d'[[w:Archiduché d'Autriche|Autriche]] ([[w:Habsbourg|Habsbourg]]) revendiquent alors le trône et la souveraineté sur les colonies liées à l'Espagne, ouvrant une guerre de Succession qui durera de 1701 à 1714. Le 11 avril 1713, les [[w:Traités d'Utrecht (1713)|traités d'Utrecht]] sont signé qui mettent fin à la Guerre de Succession d'Espagne. ==== Emergence de la puissance britannique ==== [[Fichier:Opening Utrecht 29 janvier 1712.png|100px|vignette|gauche|Ouverture du Congrès d'Utrecht le 20 janvier 1712]] * [[w:en:Treaty of Utrecht#Negotiations|29 janvier 1712]] - Ouverture du Congrès d'Utrecht qui aboutira aux traités éponymes == La finitude des mondes après les guerres de Succession d'Espagne == [[Fichier:L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté dans des cartes générales et particulières du ciel et de la terre, p. 11 (cropped).jpg|100px|vignette|gauche]] [[File:Treaty of Utrecht 1713.png|100px|vignette|gauche|Traité d'Utrecht, 1713<ref>L'idée de la paix conclue dans la ville d'Utrecht le 11 avril et 12 mai 1713</ref>]] [[Fichier:Antoine Rivalz, An Allegory, Probably of the Peace of Utrecht of 1713.png|100px|vignette|gauche|Antoine Rivalz.- Alégorie de la paix d'Utrecht, 1713]] [[Fichier:Utrecht Treaty.png|100px|vignette|gauche|Cessions territoriales et de souveraineté résultant des traités d'Utrecht, Stockholm et Passarowitz]] === 1705-1717 - Nicolas de Fer, L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté === * 1705-1717 - {{bibliographie|Q118726886}}<ref>Voir échange avec Yann : [[c:Special:PermanentLink/772747042#L'Atlas Curieux ou le Monde Represente ans des Cartes Generales et Particulières du Ciel et de la Terre|L'Atlas Curieux ou le Monde Representé ans des Cartes Générales et Particulières du Ciel et de la Terre]]</ref>. <!-- L'Atlas curieux ou le Monde réprésenté dans des cartes générales et particulières du ciel et de la terre --> === 1712-1715 - Négociations européennes à Utrecht === En décembre 1712, des négociations européennes s'ouvrent à Utrecht, en Hollande, afin de mettre un terme aux guerres de succession d'Espagne. Les diplomates européens se réunissent en congrès, toujours à Utrecht, à partir du 29 janvier 1712. Les procédures de signatures des traités se poursuivront jusqu'au 15 novembre 1715 === 1712 === [[w:1712|1712]] * décembre 1712.- Ouverture des négociations européennes. === 1713 === [[w:1713|1713]] [[File:Partie du Canada ou nouvelle France et de la Nouvelle Angleterre, de l'Acadie aprés le traité de la paix d'Utrecht du 22 avril 1713.png|100 px|vignette|gauche|Canada (Nouvelle France, Nouvelle Angleterre, Acadie) après le traité de la paix d'Utrecht du 22 avril 1713]] [[Fichier:Terre-Neuve.png|100px|vignette|gauche|Terre-Neuve : Droits de pêche sur la côte française de Terre-Neuve de 1713 à 1904.]] * 1713-1715.- Les [[w:Traités d'Utrecht (1713)|Traités d'Utrecht (1713-1715). Deux [https://wikimonde.com/article/Traités_d%27Utrecht_%281713%29 traités de paix signés à Utrecht] mettent fin à la [[w:Guerre de Succession d'Espagne|guerre de Succession d'Espagne]]. Le premier est signé le 11 avril entre le royaume de France et le royaume de Grande-Bretagne, le second le 13 juillet, entre l'Espagne et la Grande-Bretagne. Outre ces deux premiers traités, s'ajoutent les traités [[w:Traité de Rastatt|de Rastatt (6 mars 1714)]], de [[w:Traité de Baden|Baden (7 septembre 1714)]] et d'Anvers (15 novembre 1715) qu'on regroupe sous le nom de Traités d'Utrecht. Le traité est le premier rédigé en français. Il inaugure la primauté du français comme langue diplomatique jusqu'au traité de Versailles, en 1919. Ces traités marquent le début de la puissance maritime et commerciale de la Grande-Bretagne qui, dès lors, va étendre ses colonies sur toute la Planète. ** Bibliographie<br />{{bibliographie|Q17362972}}<br />{{Bibliographie|Q28074756}} * [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/memoire_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=ARN01_20083501148 Vue d'une carte de Terre Neuve du traité d'Utrecht (1713)] (fouille M. L'Hour/Drassm, E. Veyrat/Drassm). === 1714 === [[w:1714|1714]] [[Fichier:Pontiac chief.png|100px|vignette|gauche|Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]], (c.1714 † 20 avril 1769), par John Mix Stanley (1814–1872)]] * 1714 (circa) † 20 avril 1769.- Naissance de Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]] dans la Nation [[w:Amérindiens au Canada|Nation amérindienne des Outaouais, Canada]] qui se nomme plus volontiers [[w:Anishinaabe|Nishnaabe ou Anishinaabe]], ou ''peuple des origines''. === 1715 === [[w:1715|1715]] * 13 août 1715 - Signature du [[w:Traité de commerce et d'amitié entre la France et la Perse|traité de commerce et d'amitié entre la France et la Perse]] à Versailles * 1715 - [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/memoire_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=ARN01_20083501148 Plan géométral de l'Isle de Terre-Neuve après le Traité de paix d'Utrecht (1712-1715)]. [[w:Terre-Neuve|Terre-Neuve]] est un lieu de [[w:Morue#Pêche|pèche à la morue]] depuis un millénaire environ. Les Vikings qui y débarquent vers l'an 1000 laissent une première trace américaine dans l’histoire européenne. Une colonie britannique s'établie sur ces côtes du nord du continent américain vers 1497, cinq ans après le premier voyage de Christophe Colomb. Dès lors, l'histoire coloniale de la région suivra des voies originales tout comme la protection de son écosystème marin. [[w:Saint-Pierre-et-Miquelon|Saint-Pierre-et-Miquelon]] est le vestige de la présence française dans les eaux et sur le territoire insulaire du grand nord américain. === 1719 === [[w:1719|1719]] [[Fichier:Swedish Empire (1560-1815) fr.svg|100px|vignette|gauche|Expansion et déclin territorial de l''empire suédois' de 1580 à 1815.]] 1719-1720 - Deux traités sont négociés à Stockholm, par le roi [[w:Frédéric Ier de Suède|Frédéric I{{er}}]] pour mettre fin à la "[[w:grande guerre du Nord|Grande guerre du Nord]]". Le premier traités de Stockholm est signé entre la [[w:Suède|Suède]] et l'[[w:électorat de Brunswick-Lunebourg|Electorat de Hanovre]]. Le second entre la Suède et le [[w:royaume de Prusse|Royaume de Prusse]]. Ces deux traités qui suivent les traités d'Utretch montrent comment l'espace européen (Eurasie ?) se transforme tant du point de vue de la répartition territoriale des formes de gouvernement que de la puissance économique, sous l'effet de la première mondialisation. === 1719 === [[w:1719|1719]] 1719 - Premier traités de Stockholm, conclu le {{date|20|novembre|1719}} (9 novembre du calendrier julien), entre le [[w:Histoire de la Suède|Royaume de Suède]] et l'[[w:électorat de Brunswick-Lunebourg|Electorat de Hanovre]] fait perdre à la Suède le contrôle du [[w:Brême-et-Verden|Brême-et-Verden]]<ref>Voir second traité de 1720</ref>. === 1720 === [[w:1720|1720]] 1{{er}} février 1720 - Le second traité de Stockholm, conclu le {{date|1|février|1720}} (21 janvier du calendrier julien), entre l'[[w:Empire suédois|Empire suédois]], (1611-1718)<ref>L'[[w:Empire suédois|Empire suédois]] (du suédois : ''stormaktstiden'', « le temps de la grande puissance ») est, dans l'historiographie moderne, la période historique entre 1611 et 1718 où la [[w:Suède|Suède]] est l'une des [[Grande puissance|grandes puissances]] de l'Europe. Empire suédois est précédée par la période Vasa, (1521-1611), et suivie par l'[[w:Ère de la Liberté|Ère de la Liberté]], (1719-1772).</ref>, et le [[w:royaume de Prusse]]. la Suède y perd une partie de la [[w:Poméranie suédoise|Poméranie suédoise]] (au sud de la [[w:Peene|Peene]]) et l'Ouest du [[w:Peenestrom|Peenestrom]], les îles d'[[w:Usedom|Usedom]] et de [[w:Wolin (île)|Wolin]], ainsi que les villes de [[w:Szczecin|Stettin]], Damm et [[w:Goleniów|Goleniów]]. === 1733 === [[w:1733|1733]] * 1733 - [[w:Sugar and Molasses Act|Sugar and Molasses Act]], loi britannique sur les sucres et mélasses qui impose une taxe de six cents par gallon de mélasse entrant aux treize colonies américaines. Les Traités d'Utrecht (1713) avaient fait de l'Angleterre la première puissance maritime. Mais, la puissance du Royaume-Uni est rapidement concurrencée par la croissance de l’économie coloniale de la France. L'Angleterre met en place une politique protectionniste en établissant des taxes. === 1734 === [[w:1734|1734]] * 6 juillet 1734 - Ordonnance du Roy qui règle la forme des certificats de la traite des nègres aux Iles françaises d'Amérique [[Fichier:Ordonnance du Roy du 6 juillet 1734 qui règle la forme des certificats de la traite des nègres iles frses Amérique.png|100px|vignette|gauche|source : {{BNF|34569179r}}-Gallica]] === 1738 === [[w:1738|1738]] * 4 juin [[w:1738|1738]] - Naissance de George William Frederick, futur [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III (roi du Royaume-Uni)]], à [[w:en:Norfolk House|Norfolk House]], à [[w:Londres|Londres]]. Son règne (1760-1820) sera ponctué par les guerres entre les puissances européennes, les guerres coloniales, l'[[w:en:George III of the United Kingdom#American War of Independence|indépendance des États-Unis d'Amérique]], la [[w:en:French Revolution|Révolution française]], les [[w:en:Napoleonic Wars|guerres napoléoniennes]] (1803-1815) et les conflits autour de l’empire colonial espagnol. En 1811, [[w:en:George IV of the United Kingdom|George, Prince de Galles]], devient régent puis succède à son père en 1820. * 1738.- La bulle pontificale [[w:In eminenti apostolatus specula|In eminenti apostolatus specula]] de 1738 condamne la [[w:franc-maçonnerie |franc-maçonnerie]] et excommunie ses membres (position rappelée, au nom de Jean-Paul II, par le cardinal Ratzinger en 1983). === 1740 === [[w:1740|1740]] 1740-1748 - Guerres de Succession d'Autriche À la mort de Karl von Habsburg [[w:Charles VI (empereur des Romains)|Archiduc d'Autriche, roi de Hongrie sous le nom de Charles III de Habsbourg]]<ref>Empereur des Romains sous le nom de Charles VI.</ref>, les guerres de succession d'Autriche (1740-1748) opposent sa fille [[w:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)#Héritière des États des Habsbourg|Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)]], héritière des États des Habsbourg en vertu de la [[w:Pragmatique Sanction (Autriche)|Pragmatique Sanction]], soutenue par la Grande-Bretagne et les Provinces-Unies, à l'électeur Charles-Albert de Bavière, élu empereur (Charles VII), soutenu par l'Espagne, la France, la Prusse et la Saxe. En 1748, le [[w:Traité d'Aix-la-Chapelle (1748)|traité d'Aix-la-Chapelle]] met fin aux Guerres de Succession d'Autriche <Center> <gallery> File:Charles VI in hunting dress - Kunsthistorisches Museum.jpg|[[w:Charles VI (empereur des Romains)|Charles III Archiduc d'Autriche]], † Vienne, 20 octobre 1740. File:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780), héritière des États des Habsbourg.png|[[w:Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)#Héritière des États des Habsbourg|Marie-Thérèse d'Autriche (1717-1780)]], héritière des États des Habsbourg en vertu de la [[w:Pragmatique Sanction (Autriche)|Pragmatique Sanction]] </gallery> </Center> === 1741 === [[Fichier:N6700100 JPEG 1 1DM.jpg|100px|vignette|gauche|Carte des côtes méridionales de l'isle de Terre Neuve]] [[w:1741|1741]] * 1741.- Cartographie {{bibliographie|Q28082556}} === 1746 === [[w:1746|1746]] === 1748 === [[Fichier:France - Traité de paix conclu à Aix-la-Chapelle le 18 octobre 1748.jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:1748|1748]] * 1748 - Le [[w:Traité d'Aix-la-Chapelle (1748)|traité d'Aix-la-Chapelle]] met fin aux Guerres de Succession d'Autriche<ref>* 1758 - {{bibliographie|Q28869832}}</ref> === 1750 === [[w:1750|1750]] * 1750 - {{bibliographie|Q28843729}} === 1751 === [[w:1751|1751]] * 1751.- La bulle pontificale [[w:Providas romanorum|Providas romanorum]] de 1751 prononce une nouvelle condamnation de la Franc-maçonnerie, après In eminenti apostolatus specula (1738). === 1756 === [[w:1756|1756]] * 1756-1763 - Guerre de Sept Ans * 1756 - Début de la guerre de Sept Ans (1756-1763), conflit majeur qui oppose les puissances européennes sur le continent Européen, sur terre, sur mer et dans les colonies. Ce conflit qui implique les colonies d'Outre-mer peut être qualifié de "guerre mondiale". === 1757 === [[w:1757|1757]] * 1757- Parution de {{bibliographie|Q28768643}} === 1759 === [[w:1759|1759]] * 1759-1809 - Bataille de la Martinique ** 1759.- [[w:Invasion de la Martinique (1759)|Invasion de la Martinique]] par les forces britanniques, début des [[w:Bataille de la Martinique|rivalités armées]]<ref>Wikipédia répertorie sous le titre "[[w:Bataille de la Martinique|Bataille de la Martinique]]" la rivalité entre les armées du [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]] et de la [[w:France|France]] entre 1759 et 1809, pour la possession de l’Ile de la [[w:Martinique|Martinique]].</ref> entre le [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]] et la [[w:France|France]] pour la possession de l’Ile de la [[w:Martinique|Martinique]] qui dureront jusqu'en 1809.<br />Des affrontements se sont déroulés sur terre ou au large de l'île depuis l’[[w:Invasion de la Martinique (1759)|invasion]] de [[w:1759|1759]] jusqu'à la [[w:prise de la Martinique (1794)|conquête]] de la colonie en [[w:1794|1794]].<br />Malgré les efforts de la Première République, 21 septembre 1792 - 9 novembre 1799 ([[w:Convention nationale|Convention nationale]], 21 septembre 1792 - 26 octobre 1795 ; [[w:Directoire|Directoire]], 26 octobre 1795 - 9 novembre 1799 ; [[w:Consulat (histoire de France)|Consulat]], 9 novembre 1799 - 18 mai 1804) ; puis du [[w:Premier Empire|premier empire]], 18 mai 1804 - 14 avril 1814, [http://www.napoleon.org/fr/salle_lecture/articles/files/Napoleon_Angleterre_2_marine.asp#ancre7 sous Napoléon], la Martinique ne sera pleinement reconnue colonie française qu'au [[w:Congrès de Vienne|Congrès de Vienne]] en [[w:1815|1815]]. *1759 - Invasion de la Guadeloupe ** 1759.- [[w:Invasion de la Guadeloupe (1759)|Invasion de la Guadeloupe]] === 1761 === [[Fichier:Géolocalisation de l'Ile Tromelin OSM (6080162).png|100px|vignette|gauche|Géolocalisation de l'Ile Tromelin]] [[w:1761|1761]] 1761 - Naufrage de L'Utile : les esclaves oubliés de Tromelin === 1763 === [[Fichier:Pontiac in 1763.jpg|100px|vignette|gauche|Pontiac en 1763]] [[w:1763|1763]] * 1763.- Après le traité de Paris, Obwandiyag dit [[w:Pontiac (Outaouais)|Pontiac]] rassemble les Nations Amérindiennes de la région des Grands Lacs contre l'occupation Britannique<ref>Fascicule de vulgarisation sur le traité de Paris, 1763 : {{bibliographie|Q29018702}} 2014</ref> === 1789 === [[w:1789|1789]] * c.1789-1790 - Naissance de [[w:Saartjie Baartman|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman (''Saartjie Baartman'')]]. Surnommée la "''Vénus hottentote''", elle serait née aux abords de la [[w:Gamtoos|Gamtoos River]] ([[w:Cap-Oriental|Cap-Oriental]]) aux alentours de [[w:1789|1789]] dans l'actuelle [[w:Afrique du Sud|Afrique du Sud]] au sein du peuple [[w:Khoïkhoï|Khoïkhoï]] ([[w:Khoïsan|Khoïsan]]), le plus ancien de la région sud de l'[[w:Afrique|Afrique]]. Elle mourra à [[w:Paris|Paris]] le {{date|29|décembre|1815}} 29 décembre 1815. == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Chronologie 1763-1848/]] }} eyq6zl122so76n6ym00xw0fyg2qh7m5 4 80727 986955 986752 2026-10-02T17:32:55Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 986955 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-10-01T06:35:22Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! 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Le groupe étudie les transitions sociotechniques et les régimes d’innovation en société, avec une focalisation sur les processus de généralisation des technologies, d’expérimentation et de déstabilisation des régimes sociotechniques.[https://umr-lisis.fr/recherches/axe/thematiques-de-recherche/] Par régime d'innovation, nous entendons un ensemble de normes, de pratiques, de dispositifs politiques, scientifiques, techniques, informationnels et organisationnels qui conditionnent la dynamique des couplages entre science, politique, industrie, société et nature. Ces régimes structurent les trajectoires sociotechniques et organisationnelles. Ces régimes sont constitués par les relations entre pratiques et institutions. Ils peuvent être déstabilisés par des changements de pratiques, des crises, des tensions ; par exemple lorsque différents régimes – et donc pratiques – coexistent. Les travaux du groupe prennent au sérieux les questions d'interdisciplinarité, entre sciences sociales et avec les sciences biotechniques, et de transdisciplinarité, en analysant et en participant activement à des formes renouvelées de production de connaissances, impliquant par exemple les tiers lieux ou autres acteurs intermédiaires. Les travaux du groupe se déploient autour de trois sous-thématiques: * Processus sociotechniques * Politiques, gouvernance, évaluation * Contradictions, conflits, crises L'animation pour l'année 2025-2026 est assurée par François Charrier, Bruno Turnheim et Mireille Matt. == Agenda == [[Fichier:Regime Change Witch (24910523).jpg|droite|sans_cadre]] === Rencontres régulières === Le GT se rencontre généralement un mardi par mois à 13h30 pour discuter des sujets d'organisation puis de 14h à 16h pour une présentation ou atelier. ==== '''🗓️ 2 octobre 2026 ⏰ 13h30→16h00''' ==== * Nous reviendrons sur l’année passée et donnerons l’opportunité à toutes de brièvement présenter les recherches et projets qui les animent (focus, questions, terrains, méthodes, difficultés éventuelles); * Hemal Thakker, doctorant du LISIS, présentera ses premiers résultats de terrain sur le déploiement de pratiques agroécologiques en Himachal Pradesh et les pistes analytiques qu’ouvrent ces matériaux. === Activités libres === ==== Atelier du vivant ==== ''Voir [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]]'' En 2026-2027 les rencontres ont été intégrées à la programmation régulière du GT. === Appels et conférences === {| class="wikitable" |+ !Conférence !Quand !Où !Soumission |- | | | | |}[[Fichier:Juliesvegetables.jpg|droite|sans_cadre]] == Projets == [[Fichier:Un agenda pour la recherche participative - Rencontre 2024-06-11 - All post-its.jpg|droite|sans_cadre]] Projets de membres du GT ayant une documentation ou présence en ligne, sur Wikiversité ou ailleurs * [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]] === Conclus === * [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative|Vers un agenda pour la recherche participative co-construite avec les Suds]] (2024) * [[Recherche:OpenLabs|OpenLabs]] (2017-2019) == Documentation == [[Fichier:Bayeux Tapestry Scene 43.png|droite|sans_cadre]] === Activités passées === ==== 2025-2026 ==== * Rencontre des permanents du GTI 🗓️ 2025-09-04 ⏰ 09:00–17:30 ==== 2024-2025 ==== * Atelier du Vivant: Infravies et bio-objets 🗓️ 2025-04-01 ⏰ 14:00–16:00 *WAYS-OUT: Conclusion 🗓️ 2025-03-24,25 * Séminaire « Recherches participatives en Amérique du Sud » ([[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-12-16,17 Séminaire-atelier au LISIS|wiki]], [https://umr-lisis.fr/actualites/evenement/seminaire-recherches-participatives-en-amerique-du-sud-a-14h-salle-109-au-lisis/ annonce]) 🗓️ 2024-12-16 ==== 2022-2023 ==== * [[Recherche:Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche|Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche]] 🗓️ 2022-10-04 * [[LISIS/Club déstabilisation|Club déstabilisation]] 🗓️ 2022-05 === Rencontres passées === ==== '''🗓️ 7 septembre 2026 (long) ⏰ 9:00–10:30''' ==== Discussion sur le programme et organisation de l'année 2026-2027 ==== '''🗓️ 7 juillet 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Discussion de fin d'année au Muguet (Lucas, Ale, Julie, Lidia) ==== '''🗓️ 14 avril 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance jeux sérieux (Renée, Séverine) ==== '''🗓️ 7 avril 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Contradictions: Poursuite des discussions autour de propositions de recherche collective ==== '''🗓️ 10 février 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance contradictions, conflits, crises (Julie, François, Bruno) ==== '''🗓️ 13 janvier 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance de présentation du papier TFSC (Allison et al.) '''🗓️ 9 décembre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' Discussion des animations et du programme du GTI pour 2026. ==== '''🗓️ 18 novembre 2025 (long) ⏰ 15:00–18:00''' ==== Soutenance HDR Bruno Turnheim (CSI/Ecole des Mines): "Things falling apart: Handling destabilisation and its patterns" ==== '''🗓️ 7 octobre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== François Charrier (INRAE/LISIS): "Gouvernementalité des maladies infectieuses animales - l'organisation du bio-pouvoir biosécuritaire" ==== '''🗓️ 9 septembre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Présentation de Lenn Gorissen : « Socio-techno-ecological imaginaries: a framework for understanding future-making for and with ecology ». ==== 🗓️ 01 juillet 2025 (long) '''⏰ 16:00–18:00+''' ==== Séance hors les murs lors d'école jeune chercheur sur "contradictions de régime" organisée par Allison et co-organisée par Julie, Bruno, Marc, Francois?. Au programme: * <u>16h00–17h00</u>: Échanges entre les participants du Summer School et les membres de GTI (pendant une pause-café). * <u>17h00–18h00</u>: Séminaire donné par Jessica Duncan, Wageningen University: ''Beware of systems: Opportunities and challenges of global food systems governance.'' * Rencontre au Centre Universitaire de Norvège à Paris, dans les locaux de l’EHESS, 105 Bd Raspail, 75006 Paris. * <u>20h00:</u> Dîner à la Crêperie Port-Manech, 52 Rue du Montparnasse, 75014 Paris. ==== 🗓️ 27 mai 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance organisée par les doctorants et post-docs : Jim Sion sur l'imaginaire agro-industriel à La Réunion. Présentation des collègues sénégalais travaillant sur l'agroécologie : Ibrahima Diallo, avec des perspectives issues de la sociologie du travail, et Modou Fall, avec des perspectives issue de l’économie et de la modélisation économique. ==== 🗓️ 13 mai 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== Personne d'autre n'est venue donc Marc et Ale ont bitché aux pauvres doctorants à propos de trucs sans issue. ==== 🗓️ 29 avril 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Les IRs du GTI, le métier, les contributions, les attentes. ==== 🗓️ 3-4 avril 2025 (séminaire résidentiel) ==== * Présentations et discussions autour des thématiques du GTI * Présentations de doctorants ==== 🗓️ 18 mars 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Une présentation par Géraldine et Lionel du travail réaliser avec TSARA * Tour de tables des nouvelles (conférences à venir, projets, ….) * Préparation du séminaire résidentiel ==== [?] 🗓️ 04 mars 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Session Science-Policy dialogue * Retour sur la formation Mission-Oriented Science Policy dialogue (Eu-SPRI). * Interventions de membres du GTI sur activités Science-Policy. ==== [?] 🗓️ 18 février 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Mise à jour des listes du GT. * Invitations d'externes pour septembre, octobre. ==== [?] 🗓️ 11 février 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== * Le 11 février : « La transition agroécologique : nos travaux actuels et questions de recherche ». ==== 🗓️ 20 janvier 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Proposition et discussion du programme GTI pour le semestre. * Discussion autour d'abstracts et échéances Eu-SPRI, IST etc. ==== 🗓️ 07 janvier 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== 📝 [[LISIS/GTI/Comptes rendus/2025-01-07 Séminaire|Compte rendu]] * Discussion proposée par les doctorants - Thème de la session: Explorer le changement socio-technique. * Lecture de deux textes : ** Geels (2007) – Feelings of Discontent and the Promise of Middle-Range Theory for STS ** Schot & Kanger (2018) – Deep Transitions: Emergence, Acceleration, Stabilization, and Directionality * Déroulement : introduction sur le thème général du changement; présentation des deux textes; échange interactif; réflexions individuelles de la part des doctorant·es; discussion ouverte. ==== 🗓️ 26 novembre 2024 (court) '''⏰ 12:30–13:30''' ==== * Organisation de la journée « construction participative du GTI ». ==== 🗓️ 12 novembre 2024 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== * Kewan Mertens, postdoctorant au CSI, nous présentera son parcours interdisciplinaire et son projet de recherche autour du titre « habiter, connaître et agir (politiquement) sur son environnement ». * Présentation éclair : introduction à Wikiversité et aux pages wiki du GTI. [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] ldrosuwrjrpav2m68cipyyfjy3n218d 104 86018 986976 986819 2026-10-03T08:03:19Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate */ 986976 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*Acetate +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. x êtres dont x archées *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 1pot2re5r7gz1qzsd2v7zdyyi70gp4a 986978 986976 2026-10-03T08:07:41Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate */ 986978 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*Acetate +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. x êtres dont x archées *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> bzfq9jlmzcmycljxrfmqcl645045a06 986979 986978 2026-10-03T08:11:54Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate */ 986979 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*Acetate +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 1m8xqxqameop0i9tjhdy624rqwjpmuq 986980 986979 2026-10-03T08:12:34Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate */ 986980 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*Acetate +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 9j9z7coi50towsjiqr9x5782lrrmrkn 986981 986980 2026-10-03T08:19:17Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986981 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*Acetate +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: -*Acetate +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> gw1djunwvrfh9ib25yuva98tr8vpajv 986982 986981 2026-10-03T08:20:16Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986982 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> mr94p81cp81sb6r9zjhnijpnf5oj1qg 986983 986982 2026-10-03T08:21:22Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986983 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> d61ybdn5d3xa94a5s9uzh6ppo7kz7zb 986984 986983 2026-10-03T08:31:22Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986984 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Propionate''' +PP donne <> Propionyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 904e0xicrmzblkq92j9oeib8a2wk26e 986987 986984 2026-10-03T08:34:47Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986987 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +PP donne <> Propionyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ezlne6iskz413wctxyrhet53k3dqg3m 986988 986987 2026-10-03T08:37:20Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986988 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +PP donne <> Propionyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> cvow9xz5zczjgyrx2kud1i69ur4vc2n 986989 986988 2026-10-03T08:39:09Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986989 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +PP donne <> Propionyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 4evp2kqh6v5s95nkl58sqzjhimhdnvy 986991 986989 2026-10-03T08:42:40Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986991 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +PP donne <> Propionyl-P +Pi EC272.15 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ctofw4xifvmrhs2sbbasbqr3152367g 986992 986991 2026-10-03T09:02:25Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986992 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> fhc6ppuo6oobz56valf92nlelko3nt4 986993 986992 2026-10-03T09:38:33Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986993 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 0j61ndj8vqwfyi06fypw47jjgs9341y 986994 986993 2026-10-03T09:42:05Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986994 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> o7c0rzne7g49qs1m8k3bdkv1lss94eq 986995 986994 2026-10-03T09:55:27Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate */ 986995 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 260cuhhmylm1dv1u734censvvtsl5qb 986996 986995 2026-10-03T10:05:34Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite */ 986996 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> 6waitgf52jgy9o150nlany8sni0o1ab 986997 986996 2026-10-03T10:10:18Z Mekkiwik 5298 /* Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite */ 986997 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase </ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> i52tas3gztna371lfzhzu922qhxite3 0 87184 986942 984302 2026-10-02T14:57:10Z ~2026-53190-27 81093 986942 wikitext text/x-wiki == Objectif == Ce tutoriel a pour vocation à guider à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page. == Présentation du sujet == Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés. == 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science == === 0.1. Requête de recherche === La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête ci-dessous. Utiliser le module « Advanced Search - Query Builder » du WOS pour lancer la requête.<syntaxhighlight lang="text"> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND DT=("Article" OR "Proceeding paper" OR "Book chapter" OR "Data paper") AND PY=(2001-2024) NOT PY=2025 </syntaxhighlight>Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper. === 0.2. Téléchargement des données === L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers <code>.txt</code> téléchargés pour pouvoir les importer dans un projet Cortext manager. ''Jeu de données de la formation : wos-cca-2001-2024.zip'' === 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: ** <code>wos-cca-2001-2024.zip</code> * <u>Data parsing</u>: ** ''Type of data'': <code>dataset</code> ** ''Corpus format'': <code>ISI</code> == 1. Exploration du corpus == Objectif : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables. === 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs === [[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Demography</u>: ** ''Which variable'': <code>Countries</code> ** ''Is the variable categorical or numerical?'': <code>categorial</code> ** ''Number of top entities to consider'': <code>30</code> ** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': <code>yes</code> ==== Discussion ==== * Qu'est-ce qu'on peut dire des volumes du corpus ? * Quel est le pays le plus présent? * Comment évolue la participation des différents pays ? === 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps === [[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epich Epoch</u>: ** ''Field'': <code>Author_Affiliations_Enhanced_WOS</code> ** ''Size of hierarchy'': <code>20</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of slice'': <code>3</code> *** ''Time slide distribution'': <code>regular</code> == 2. Analyses sémantiques == Objectif : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus. === 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés === L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre d'années, c’est-à-dire que l’extraction de groupes nominaux a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. * <u>Term Extraction:</u> ** ''Textual Fields'': <code>Abstract</code>, <code>Title</code> ** ''List length'': <code>500</code> ** ''Lexical extraction advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Sampling'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>3</code> *** ''Time slice distribution'': <code>regular</code> === 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits === Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les groupes nominaux trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et à des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les groupes nominaux les plus pertinents d'un point de vue sémantique. Les groupes nominaux équivalents ou ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). * Télécharger la liste <code>.tsv</code> présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler. ''Ressource utilisée pour la formation : 02-list-terms-cleaned.tsv'' === 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> * <u>Corpus Term Indexer</u>: ** ''Textual fields'': <code>Abstract</code>, <code>Keywords</code>, <code>Title</code> ** ''Terms List'': <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> ** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': <code>500termsclean3period</code> === 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps === [[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epic Epoch</u>: ** ''Field'': <code>ISIterms500termsclean3period</code> ** ''Size of the Hierarchy'': <code>10</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of time slice'': <code>6</code> *** ''Time slices distribution'': <code>regular</code> === 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits === Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure "''Distributional"''. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres groupes nominaux identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires, jouant des fonctions similaires dans les textes, pour en dégager les principaux espaces sémantiques. [[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Network mapping</u>: ** ''First Field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Second field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Number of nodes'': <code>250</code> ** ''Nodes advanced settings'': <code>yes</code> *** ''Node weight'': <code>frequency</code> ** ''Edges:'' *** ''Edges filtering advances setting'': <code>yes</code> *** ''Number of top neighbours to consider'': <code>8</code> ** ''Network analysis and layout'' *** ''Community detection algorithm'': <code>Louvain resolution</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>500termsclean3period</code> === 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 === Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps. [[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]] [[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager * <u>Epic Epoch:</u> ** ''Field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Size of the hierarchy'': <code>9</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>24</code> == 3. Analyses hétérogènes == Objectif : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs). === 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. === La liste des pays présents dans le corpus peut être obtenue par le script ''"List builder"''. Une ressource a ensuite été créée listant les pays du corpus et leur continent correspondant - en utilisant des dictionnaires externes en libre accès. ''Ressource utilisée pour la formation : 03-list-affiliation-continent.tsv'' Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> * <u>Corpus List Indexer</u>: ** ''Field'': Countries ** ''Define a custom list of entities'': <code>yes</code> *** ''List of entities to consider'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''Add a dictionary of equivalent strings'': <code>yes</code> *** ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''List indexation advanced settings'': <code>yes</code> *** ''New indexation name (optional)'': <code>affiliation_continent</code> === 3.2. Heatmaps par continent === Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur/sous-représentés dans les documents des différents continents. [[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet. * <u>Network mapping</u> (via <u>Relaunch script)</u>: ** ''Network analysis and layout'': *** ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'': <code>yes</code> *** ''Choose the new field that should be used'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> *** ''Tagging/heatmap Specificity Measure'': <code>chi2_dir</code> *** Heatmap: <code>yes</code> *** ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'': <code>#exhaustive</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>heatmaps</code> === 3.3. Contingency matrix === Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettent de repérer les sur/sous-représentations des continents (issus des affiliations) au sein des 9 clusters sémantiques identifiés. [[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Contingency matrix</u>: ** ''First field'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> ** ''Second field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Contingency matrix options'': *** ''Evaluate wether deviations are statistically significant'': <code>yes</code> == 4. Analyses géographiques == Pour un tutoriel pas à pas – se référer à la page [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|"La visualisation géospatiale avec Cortext Manager"]]. Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique. === 4.1. Geocoding des adresses des affiliations === Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes. Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geocoding:</u> ** ''Select the field which contains addresses'': <code>Address</code> ** ''Top scale filter'': <code>County</code> ** ''Geocoding methods'': <code>Filtering non-geographical information</code> ** ''Advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Confidence threshold'': <code>0.4</code> === 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines === Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurales ou urbaines). [[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geospatial exploration:</u> ** ''Assign unclassified points to the nearest area'': <code>5</code> ** ''Two-pass URA'': <code>yes</code> ** ''Initial view map'': <code>Urban and rural areas</code> muq08e4j0dv4hd29hzhti3n5x4kxe0t 986943 986942 2026-10-02T14:57:48Z ~2026-53190-27 81093 /* 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science */ 986943 wikitext text/x-wiki == Objectif == Ce tutoriel a pour vocation à guider à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page. == Présentation du sujet == Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés. == 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science == === 0.1. Requête de recherche === La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête ci-dessous. Utiliser le module « Advanced Search - Query Builder » du WOS pour lancer la requête.<syntaxhighlight lang="text"> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND DT=("Article" OR "Proceeding paper" OR "Book chapter" OR "Data paper") AND PY=(2001-2024) NOT PY=2025 </syntaxhighlight> === 0.2. Téléchargement des données === L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers <code>.txt</code> téléchargés pour pouvoir les importer dans un projet Cortext manager. ''Jeu de données de la formation : wos-cca-2001-2024.zip'' === 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: ** <code>wos-cca-2001-2024.zip</code> * <u>Data parsing</u>: ** ''Type of data'': <code>dataset</code> ** ''Corpus format'': <code>ISI</code> == 1. Exploration du corpus == Objectif : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables. === 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs === [[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Demography</u>: ** ''Which variable'': <code>Countries</code> ** ''Is the variable categorical or numerical?'': <code>categorial</code> ** ''Number of top entities to consider'': <code>30</code> ** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': <code>yes</code> ==== Discussion ==== * Qu'est-ce qu'on peut dire des volumes du corpus ? * Quel est le pays le plus présent? * Comment évolue la participation des différents pays ? === 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps === [[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epich Epoch</u>: ** ''Field'': <code>Author_Affiliations_Enhanced_WOS</code> ** ''Size of hierarchy'': <code>20</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of slice'': <code>3</code> *** ''Time slide distribution'': <code>regular</code> == 2. Analyses sémantiques == Objectif : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus. === 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés === L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre d'années, c’est-à-dire que l’extraction de groupes nominaux a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. * <u>Term Extraction:</u> ** ''Textual Fields'': <code>Abstract</code>, <code>Title</code> ** ''List length'': <code>500</code> ** ''Lexical extraction advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Sampling'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>3</code> *** ''Time slice distribution'': <code>regular</code> === 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits === Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les groupes nominaux trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et à des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les groupes nominaux les plus pertinents d'un point de vue sémantique. Les groupes nominaux équivalents ou ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). * Télécharger la liste <code>.tsv</code> présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler. ''Ressource utilisée pour la formation : 02-list-terms-cleaned.tsv'' === 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> * <u>Corpus Term Indexer</u>: ** ''Textual fields'': <code>Abstract</code>, <code>Keywords</code>, <code>Title</code> ** ''Terms List'': <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> ** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': <code>500termsclean3period</code> === 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps === [[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epic Epoch</u>: ** ''Field'': <code>ISIterms500termsclean3period</code> ** ''Size of the Hierarchy'': <code>10</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of time slice'': <code>6</code> *** ''Time slices distribution'': <code>regular</code> === 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits === Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure "''Distributional"''. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres groupes nominaux identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires, jouant des fonctions similaires dans les textes, pour en dégager les principaux espaces sémantiques. [[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Network mapping</u>: ** ''First Field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Second field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Number of nodes'': <code>250</code> ** ''Nodes advanced settings'': <code>yes</code> *** ''Node weight'': <code>frequency</code> ** ''Edges:'' *** ''Edges filtering advances setting'': <code>yes</code> *** ''Number of top neighbours to consider'': <code>8</code> ** ''Network analysis and layout'' *** ''Community detection algorithm'': <code>Louvain resolution</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>500termsclean3period</code> === 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 === Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps. [[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]] [[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager * <u>Epic Epoch:</u> ** ''Field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Size of the hierarchy'': <code>9</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>24</code> == 3. Analyses hétérogènes == Objectif : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs). === 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. === La liste des pays présents dans le corpus peut être obtenue par le script ''"List builder"''. Une ressource a ensuite été créée listant les pays du corpus et leur continent correspondant - en utilisant des dictionnaires externes en libre accès. ''Ressource utilisée pour la formation : 03-list-affiliation-continent.tsv'' Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> * <u>Corpus List Indexer</u>: ** ''Field'': Countries ** ''Define a custom list of entities'': <code>yes</code> *** ''List of entities to consider'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''Add a dictionary of equivalent strings'': <code>yes</code> *** ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''List indexation advanced settings'': <code>yes</code> *** ''New indexation name (optional)'': <code>affiliation_continent</code> === 3.2. Heatmaps par continent === Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur/sous-représentés dans les documents des différents continents. [[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet. * <u>Network mapping</u> (via <u>Relaunch script)</u>: ** ''Network analysis and layout'': *** ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'': <code>yes</code> *** ''Choose the new field that should be used'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> *** ''Tagging/heatmap Specificity Measure'': <code>chi2_dir</code> *** Heatmap: <code>yes</code> *** ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'': <code>#exhaustive</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>heatmaps</code> === 3.3. Contingency matrix === Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettent de repérer les sur/sous-représentations des continents (issus des affiliations) au sein des 9 clusters sémantiques identifiés. [[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Contingency matrix</u>: ** ''First field'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> ** ''Second field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Contingency matrix options'': *** ''Evaluate wether deviations are statistically significant'': <code>yes</code> == 4. Analyses géographiques == Pour un tutoriel pas à pas – se référer à la page [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|"La visualisation géospatiale avec Cortext Manager"]]. Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique. === 4.1. Geocoding des adresses des affiliations === Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes. Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geocoding:</u> ** ''Select the field which contains addresses'': <code>Address</code> ** ''Top scale filter'': <code>County</code> ** ''Geocoding methods'': <code>Filtering non-geographical information</code> ** ''Advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Confidence threshold'': <code>0.4</code> === 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines === Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurales ou urbaines). [[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geospatial exploration:</u> ** ''Assign unclassified points to the nearest area'': <code>5</code> ** ''Two-pass URA'': <code>yes</code> ** ''Initial view map'': <code>Urban and rural areas</code> iac3ivkugphruc0zsl6p6cezx63t6cr 0 87363 986935 986934 2026-10-02T12:47:46Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986935 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} dp9glvvcdpdkuvw6yko7q0r2v2als7p 986936 986935 2026-10-02T12:56:36Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986936 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 5iax2gqbpghd8yuhraot59jkqb7bxgy 986937 986936 2026-10-02T12:58:19Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986937 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 56b6ferjdfy7phxe9rcdfwb5z0ja5i5 986938 986937 2026-10-02T12:59:41Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986938 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} snbs47usb355i14g65pp2chhl31mczn 986939 986938 2026-10-02T13:00:34Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986939 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 0gxzrmnua04ewthlfvri4z9vxnsokgs 986940 986939 2026-10-02T13:10:16Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986940 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} kz0po45j4s8n2vr9s9lr465nl7q3jtj 986944 986940 2026-10-02T16:15:44Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986944 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} iizogik2slykdvhufehri2oliizvdll 986945 986944 2026-10-02T16:17:42Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986945 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} bcbqziifr73q7c4vda35hmjig1z3wao 986946 986945 2026-10-02T16:21:42Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986946 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} iu2muqd6w772mwferxo4fbgyhqstwrb 986947 986946 2026-10-02T16:23:55Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986947 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} r8axu7fnplcsuhcebqt5a79lz2zrvsm 986949 986947 2026-10-02T16:41:32Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986949 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un }}dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 58nz8607nfxjaucol5nk834dkxyh2eo 986950 986949 2026-10-02T16:45:41Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986950 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} t9iplmxx00hl9dog67i76s75vfb3cil 986951 986950 2026-10-02T16:49:39Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986951 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} q7k3l4qjnhgacw0kaq4yvqrkpx984ve 986956 986951 2026-10-02T19:08:06Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986956 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} guwxvg6nwpv19kngjhjbh2d8k6autq7 986957 986956 2026-10-03T02:20:34Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986957 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} ka1x36qw91dhmmdefb06m1z1tvu8qba 986958 986957 2026-10-03T02:22:38Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986958 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 3un0tex5e8lfqx8z8gkenr2h72dtn7e 986959 986958 2026-10-03T02:23:35Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986959 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} guwxvg6nwpv19kngjhjbh2d8k6autq7 986960 986959 2026-10-03T02:25:50Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986960 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} rj5c0vq8z2ty85y4aoho6xilkn1i5b2 986961 986960 2026-10-03T02:27:32Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986961 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 3un0tex5e8lfqx8z8gkenr2h72dtn7e 986962 986961 2026-10-03T02:29:10Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986962 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 6tcgxf7cvjnmgyyw2w2f02dg6l4xmmu 986963 986962 2026-10-03T02:30:21Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */ 986963 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} h0o12nhyz13ddx6oh1v35q8eqt2kczu 986964 986963 2026-10-03T03:40:54Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986964 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|17}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 7qg1e9em9psnwoo9ca0crfcwez9t3fn 986965 986964 2026-10-03T03:42:42Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986965 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|17}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} f5acodoh4ikfr87ouui1ivponuwgbz7 986966 986965 2026-10-03T03:44:49Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986966 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 0l96d3azp40hru7r8xmkgg8r72f31b5 986967 986966 2026-10-03T03:45:34Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986967 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 329x5inhnaesqmoxofopda8xegfqvuj 986968 986967 2026-10-03T03:46:11Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986968 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 193a1df70eadyx4767ui4diyrrtdmkc 986969 986968 2026-10-03T03:56:11Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986969 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 1886gaanlwvafkxtwb059r46lm7xnc2 986970 986969 2026-10-03T07:38:55Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986970 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 96h9goxim0ovf9t5n2tkqff9jjl26f4 986971 986970 2026-10-03T07:41:14Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986971 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 5ooaccyipf8g0uyw75krtqw72q08zsb 986972 986971 2026-10-03T07:48:49Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986972 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} dpi2se75n40r8ovryo8r35584rw9tms 986973 986972 2026-10-03T07:59:55Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986973 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 8daydgr9i46v02hztph21qetq321uyu 986974 986973 2026-10-03T08:01:13Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986974 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|16}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} n8amr89f2nyftnnikdfks4mkq3pfhbd 986975 986974 2026-10-03T08:02:22Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986975 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} pphqaa4xyl1v8ltce97q29zr8adw50r 986977 986975 2026-10-03T08:03:36Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986977 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} izrzor3lrgi7oz1ren6pjqk4up4v8tg 986985 986977 2026-10-03T08:32:16Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986985 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme" /> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme" />. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} ni7fbyvpajhwqudxo6nivu28klek4th 986986 986985 2026-10-03T08:33:30Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986986 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme" /> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme" />. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} adqx7rzh5jcpzvlborzw9y0q5z9rsuz 986990 986986 2026-10-03T08:41:37Z Phl7605 31541 /* Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites */ 986990 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;I\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\;</math>» en accord avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement et «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;</math>» d'où «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,</math> }}<math>= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,</math> liée à <math>\,G\,</math> étant orthonormée directe <math>\,\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\,</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\,\theta_G\,</math> étant l'angle entre <math>\,\vec{u}_z\,</math> et <math>\,\vec{u}_{r_G}</math> <math>\,\big\{</math>angle <math>\,\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\,\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\,M\,</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\,M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\,G\,</math> sachant que <math>\,\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant les hypothèses simplificatrices }}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>» <ref> En effet <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» <ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> avec «<math>\;m\;\vec{g}\,</math> et <math>\,\vec{R}\,</math> dans le plan <math>\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\,\big(</math>après mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> selon <math>\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\,\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\,-h\;r_I\big)\,</math> donnant <math>\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,</math> ou, avec <math>\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> d'où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}</math> }}<math>= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> avec <math>\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant l'équation <math>\,(\mathfrak{2})\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «<math>\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;</math>» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «<math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\,t\,</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref>, en multipliant les deux membres par <math>\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>», soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,</math> pour <math>\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» <ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre en <math>\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,</math> à cœfficients constants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,A_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|⁸²]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante <math>\,A\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> et par suite <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, «<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de <math>\,cste'\,</math> par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref name="theta au lieu de thetaG"> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.A. noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}<math>\,\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front" /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et par suite que le point d'application <math>\,I\,</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\,G\,</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" /> appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de la liaison sphérique <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math> appliquée en <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h"> «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement fluide linéaire.</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.</ref> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="H"> «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}</math> }}<math>= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="retour au repérage polaire du plan zOx"> En effet <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&=&\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,</math> dont on déduit <br>«<math>\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <math>\;\ldots</math></ref>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire en <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}<math>\bullet\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="h" /> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="résultante des forces de frottement fluide" /> de vecteur moment en <math>\,O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;</math>» <ref name="H" />{{,}} <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A." /> et de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour un }}lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="theta au lieu de thetaG" /> avec «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» avec }}et «<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à la date <math>\,t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> nous obtenons «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire. === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre, fut-il linéaire «<math>\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;</math>», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement <ref name="analytique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\big)\;</math> n'a donc <u>pas de résolution analytique exacte</u> <ref name="analytique" />, la seule possibilité étant une résolution approchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>analytique }}<math>\,\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>avec terme linéaire du 1^er ordre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer <ref> Que la liaison avec <math>\,O\,</math> ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].</ref> le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières suivantes : <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> de <math>\,\theta_0\,</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » avec la valeur absolue de <math>\,\theta_0\,</math> petite <br>{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \theta(t) \vert\,</math> ne dépassera pas <math>\,\vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\,</math> à partir de <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}soit «<math>\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> <math>\Rightarrow</math> possibilité de D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}voisinage de <math>\,0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. une <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du <br>{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> selon }}2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> avec terme du 1^er ordre et homogène. <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans le cas des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «<math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{\sigma}</math> }}<math>= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma < 1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}\;</math>» }}en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="même forme"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma = 1\;</math>» le régime est apériodique critique <ref name="même forme - bis"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;\sigma > 1\;</math>» le régime est apériodique <ref name="même forme - ter"> De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>. == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} ng1omg83oumr3cqd76o5teom7lg4m7j